2017-2018学年高中数学人教b版选修4-1教学案：第一章 1.2 1.2.1　圆 的 切 线

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1、2017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案_1.2圆周角与弦切角1．2.1　圆的切线[对应学生用书P15]　[读教材·填要点]1．直线与圆的位置关系(1)相离：直线和圆没有公共点，称直线和圆相离．(2)相交：如果圆心到一条直线的距离小于半径，则这条直线和该圆一定相交于两点，此时称直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．(3)相切：如果一条直线与一圆只有一个公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点．2．圆的切线判定定理经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：从圆外的一个已知点所引的两条切线长相

2、等．推论2：经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角．4．三角形的内切圆、旁切圆(1)内切圆：与一三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆．(2)旁切圆：与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆，一个三角形有三个旁切圆．[小问题·大思维]1．下列关于切线的说法中，正确的有哪些？①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．提示：由切线的定义及性质可知，只有③④正确．2．圆的切线的判定方法有哪些？102017-2018学年

3、高中数学人教B版选修4-1教学案提示：圆的切线的判定方法有：(1)定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)几何法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线．(3)判定定理：过圆的半径的外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线．[对应学生用书P16]　切线的判定[例1]　如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是⊙O的切线．[思路点拨]　本题考查圆的切线的判定方法．解决本题只要证明OD⊥CD即可．[精解详析]　如图，连接OD.∵OC∥AD，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2.∵OD＝OA，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠3.∵OD＝OB，OC＝OC，

4、∴△DOC≌△BOC.∴∠CDO＝∠CBO.∵AB是直径，BC是切线，∴∠CBO＝90°，∴∠CDO＝90°.∴DC是⊙O的切线．证明某条直线是圆的切线，有以下规律：(1)若已知直线经过圆上的某一点，则需作出经过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为“连半径，证垂直”；(2)若直线与圆的公共点没确定，应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记为“作垂直，证半径”．1．如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E.求证：DE是⊙O的切线．102017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案证明：连接O

5、D和AD，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵AO＝OB，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．切线的性质及判定定理的应用[例2]　如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，求证：△PQR为等腰三角形．[思路点拨]　本题考查切线的性质的应用．解答本题需要证明△PQR中的两个角相等，因为QR为切线，故可考虑连接OQ，得到垂直关系，然后再证明．[精解详析]　连接OQ.因为QR是⊙O的切线，所以OQ⊥QR.因为OB＝OQ，所以∠B＝∠OQB

6、.因为BO⊥OA，所以∠BPO＝90°－∠B＝∠RPQ，∠PQR＝90°－∠OQP.所以∠RPQ＝∠PQR.所以RP＝RQ，所以PQR为等腰三角形．(1)圆的切线的性质定理及它的两个推论，概括起来讲就是三点：①经过圆心；②切线长相等；③平分切线的夹角．(2)若题目条件中有圆的切线，可考虑连接圆心和切点，则得垂直关系．102017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案2.如图，AB是⊙O直径，弦CD∥AB，连接AD，并延长交⊙O过B点的切线于E点，作EG⊥AC交AC的延长线于G点．求证：AC＝CG.证明：如图，连接BC交AE于F点．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3.又∵∠2＝∠3

7、，∴∠1＝∠2，即AF＝BF.①AB为⊙O的直径，BE为⊙O的切线，∴，∴∠4＝∠5，即FE＝BF.②由①②得AF＝FE.③又AB为⊙O的直径，∴BC⊥AG.又EG⊥AG，∴BC∥EG.④由③④得AC＝CG.[例3]　某海域直径为30海里的暗礁区中心有一哨所，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向45海里的B处向哨所驶来，哨所及时向轮船发出危险信号，但是轮船没有收到这一信号，直到又继续前进了15海里到达C处才收到此哨所第二次发出的紧急危险信号．(1)若轮船收到第一次信号后，为避免触礁