2017-2018学年高中数学人教b版选修4-1教学案：第一章 章末小结

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1、2017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案[对应学生用书P32][对应学生用书P32]证明四点共圆问题证明点共圆的方法有以下几种：(1)利用到一定点的距离相等的各点在一个圆上；(2)利用同斜边的几个直角三角形的各直角的顶点在一个圆上；(3)如图，只要具备以下条件之一者，A、B、C、D四点共圆：①∠BAC＝∠BDC；②∠BAD＋∠BCD＝180°；192017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案③∠FAD＝∠BCD；④AE·CE＝BE·DE；⑤AF·BF＝CF·DF.[例1]　已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F，求证：

2、C、D、E、F四点共圆．[证明]　连接EF，因为四边形ABCD为平行四边形，所以∠B＋∠C＝180°.因为四边形ABFE内接于圆，所以∠B＋∠AEF＝180°.所以∠AEF＝∠C.所以C、D、E、F四点共圆．[例2]　已知：如图，四边形ABCD中，∠1＝∠2.求证：A、B、C、D四点共圆．[证明]　由A、B、D三点可以确定一个圆，设该圆为⊙O.(1)如果点C在⊙O的外部(如图)．与圆相交于点E，∵∠1＝∠AEB，∠1＝∠2，∴∠2＝∠AEB.而∠AEB>∠2，矛盾，故点C不可能在圆外．(2)如果点C在⊙O的内部(如图)．延长BC与圆相交于点E，连接AE.则∠1＝∠AEB，而∠1

3、＝∠2，∴∠2＝∠AEB，与∠2>∠AEB矛盾，∴点C不可能在圆内，∴点C只能在圆上.证明线段等积式常用的方法证明命题的一般步骤：(1)弄清题意，辨明题设和结论；192017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案(2)用分析法探明证题思路和方法；(3)若已知条件不足，可添设适当辅助线以暴露隐含的已知条件；(4)用综合法有条理地写出证明过程；(5)检查证明过程的合理性．1．利用相似三角形[例3]　如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.[证明]　(1)由A

4、C与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.从而＝，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD，又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.从而＝，即AE·BD＝AD·AB.结合(1)的结论，得AC＝AE.2．利用三角形内(外)角平分线的性质[例4]　已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点．(1)求∠ADF的度数；(2)若AB＝AC，求AC∶BC.[解]　(1)∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC.又∵DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠

5、DCB.∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，192017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案即∠ADF＝∠AFD，又因为BE为圆O的直径，∴∠DAE＝90°，∴∠ADF＝(180°－∠DAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴＝.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°.∴在Rt△ABE中，＝＝tan∠B＝tan30°＝.3．利用面积关系[例5]　Rt△ABC中，O是斜边BC上一点，以O为圆心的半圆与两直角边相切于M、N，如果两直角边分别为a、b，半圆的半径为r.求证：＝＋.[证明]　连接AO、OM、ON.∵AB、AC与半

6、圆相切于M、N，∴OM⊥AB，ON⊥AC.又设AB＝a，AC＝b，半圆的半径为r，∴S△ABC＝ab.又S△ABC＝S△AOB＋S△AOC＝ar＋br＝r(a＋b)．∴ab＝r(a＋b)．则＝＋.4．利用射影定理[例6]　如图，AB是⊙O直径，过A作切线，过B作割线交⊙O于E，交切线于F，过B再作割线交⊙O于C，交切线于D.求证：BE·BF＝BC·BD.[证明]　连接AE、AC.∵AD是切线，192017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案∴BA⊥AD.∵AB是直径，∴AE⊥BF，AC⊥BD.∴AB2＝BE·BF，AB2＝BC·BD.∴BE·BF＝BC·BD.5．利用

7、相交弦定理及切割线定理[例7]　如图所示，两圆内切于点T，大圆的弦AB切小圆于点C，TA、TB与小圆分别相交于点E、F，FE的延长线交两圆的公切线TP于点P.求证：(1)＝；(2)AC·PF＝BC·PT.[证明]　(1)设小圆的圆心为点O，连接OC.∵AB切小圆于点C，∴OC⊥AB.∵∠1＝∠3＝∠2，∴EF∥AB，∴OC⊥EF，∴＝.(2)∵EF∥AB，∴＝＝.∵AB切小圆于点C，∴AC2＝AE·AT，BC2＝BF·BT.∴＝＝，＝.∵PT是公切线，∴∠PTF＝90°，∵TF是⊙O的直径，