关于不定积分的分部积分法运算技巧

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1、2014年8月廊坊师范学院学报(自然科学版)Aug．2014第14卷第4期JournalofLangfangTeachersCollege(NaturalScienceEdition)Vol．14No．4关于不定积分的分部积分法运算技巧上宏昌(西安职业技术学院，陕西西安710077)【摘要】分部积分法是不定积分的一种重要的积分方法，其关键是要合理地选取u和dv。根据多年的教学实践，归纳总结出了u和dv的选取规律和技巧，指出了分部积分法的适用范围和应注意的问题，降低了分部积分法的难度，旨在提高学生分部积分法的运算效率。【关键词】高等数学;不定积分;分部积分法;技

2、巧OntheIndefiniteIntegralSubsectionIntegralOperationSkillsSHANGHong-chang【Abstract】Theintegrationbypartsisanimportantintegralmethodofindefiniteintegral，thekeyistoselectreasonableu＆dv．Basedonyearsofteachingpractice，thepapersummarizedtheselectionrulesandskillsofu＆dv，pointsoutthescopeof

3、integrationbypartsandtheproblemsthatshouldbepaidattentionto，reducesthedifficultyofthesubsectioninte-gralmethod，inordertoimprovethestudents＇efficiencyofoperatingintegralmethod．【Keywords】highermathematics;indefiniteintegral;integralmethod;skills〔中图分类号〕O172．2〔文献标识码〕A〔文章编号〕1674－3229(201

4、4)04－0019－04在不定积分的运算方法中，分部积分法是一种为uv，另一部分为∫vdu，其目的是为了把难以求出的重要的积分方法，也是较有难度的一种积分方法。学生在学习这种方法的过程中，由于不能正确把握u积分∫udv经过分部转化为容易求出的积分∫vdu来和dv的选择规律，导致对分部积分的运算感到茫运算。因此，在进行分部积分运算时如何把∫f(x)dx然，当然也就谈不上熟练掌握和应用技巧。因此，在分部积分法的教学实践中，要让学生掌握u和dv的转化成∫udv的积分形式就显得尤为重要，而积分选择规律，加深对分部积分公式的理解，通过针对性的习题提高分部积分法的运算技巧

5、和运算能力。∫f(x)dx转化成∫udv的关键是从被积表达式f(x)dx1不定积分的分部积分公式中选择u和dv，只有合理地选取u和dv，才能使∫udv由于不定积分与微分互为逆运算，而分部积分经分部转化成易积的∫vdu，从而达到求出∫f(x)dx积法是与积的微分法则相对应的积分方法，其公式的分结果的目的。推导过程如下:设u，v都是可微函数，则d(uv)=2分部积分法中u和dv的选择vdu+udv，两端同时求积分可得∫d(uv)=∫vdu+在分部积分法的教学实践中，要教会学生选取∫udv，整理后即为分部积分公式∫udv=uv－∫vdu。u和dv的方法，总结选取规律

6、。分部积分公式把积分∫udv分成两部分:一部分［收稿日期］2014－06－01［作者简介］上宏昌(1971－)，男，西安职业技术学院副教授，研究方向:高等数学。2014年8月廊坊师范学院学报(自然科学版)第14卷·第4期2．1选择原则把对数函数选作u，即u=lnx，则dv=xdx1选择dv时，要通过凑微分使v容易求出，这是分解:设u=lnx，dv=xdx，则du=dx，由dv=x部积分的前提;选取u和dv时，要使∫vdu比∫udv易2222xxxx1xdx=d，得v=。∴∫xlnxdx=lnx－∫dx积，这是分部积分的目的。在选取u和dv时，只有满2222x2

7、2足这两条原则，才能使积分由难变易，才能通过分部x2xxx=2lnx－∫dx=2lnx－4+C。的方法求出积分结果。否则，非但求不出积分结果，2xvdu比udv变得更难求出积分结果。例2求∫xedx。还会使∫∫分析:被积函数为幂函数和指数函数的乘积，故2．2选择规律x把幂函数选作u，即u=x，则dv=edx。分部积分法的难点在于u和dv的选取，经过多xx解:设u=x，dv=edx，则du=dx，由dv=edx年的教学实践，笔者总结出了u的选择顺序为“反三xx=de，得v=e。角、对数、幂、三角、指数”型函数，也就是说，被积表达式中如果含有以上五类函数，按照“反

8、对幂三指”xxxx∴∫xedx=xe－