2018年高考数学 专题42 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题黄金解题模板

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1、专题42巧解圆锥曲线中的定点和定值问题【高考地位】圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．定值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作用．【方法点评】方法一定点问题求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定

2、点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．【例1】已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆过点，直线交轴于，且为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的顶点，过点分别作出直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析.1考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化

3、为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关2系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．22【变式演练1】【2018贵州省遵义市模拟】已知点P是圆F1：（x﹣1）+y=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与P

4、F1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点G（0，）的动直线l与点的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22【解析】（1）由圆F1：（x﹣1）+y=8，得F1（1，0），则F2（﹣1，0），由题意得，∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，∵∴点M的轨迹C的方程为；3方法二定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目

5、中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题模板有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；4②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【例2】已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为（-3,0），记直线、的斜率分别为，，证明：为定值.【答案】（1）；（2）详见解析5考点：1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系.【变式演练2】【2018河南郑州市第一中学模拟】设，是椭圆上的两点，椭圆的离

6、心率为，短轴长为2，已知向量，，且，为坐标原点.（1）若直线过椭圆的焦点，（为半焦距），求直线的斜率的值；（2）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【解析】（1）由题可得：，，所以，椭圆的方程为设的方程为：，代入得：6∴，，∵，∴，即：即，解得：点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的设而不求，整体代换的方法；探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两7种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个这个值与变量无关

7、；②直接推理、计算，借助韦达定理，结合向量所提供的坐标关系，然后经过计算推理过程中消去变量，从而得到定值.【高考再现】1.【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.8【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通

8、过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简.2．【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？