关于正整数的完备分拆的界

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1、万方数据第22卷第2期(2006)河西学院学报V01．22No．2(2006)关于正整数的完备分拆的界普昭年(河西学院数学系，甘肃张掖734000)摘要：利用文献lll给出的正整数的完备分拆的充要条件，给出了正整数圩的完备分拆的分部量和分部数的一个界．其中正整数厅的完备分拆是指一的包含不大于一的所有正整数的唯一分拆的分拆，而月的分拆是将甩表示成若干个正整数的无序和，所分成的正整数称为分拆的分部量，而分成的正整数的个数称为分拆的分部数．关键词：完备分拆；界；分部量；分部数中图分类号：0157文献标识码：A文章编号：1672—0520(2006)02—0025～021引言正

2、整数打的分拆是将月表示成若干个正整数的无序和，所分成的正整数称为分拆的分部量，而分成的正整数的个数称为分拆的分部数．若一个分拆包含不大于n的所有正整数的唯一分拆，则这个分拆叫做仃的完备分拆．对于完备分拆在其完各性的条件和计数方面已经有许多结果，但还未见对分部量和分部数的估计，本文在这方面做一点讨论．我们通常用Ik2b3乜⋯，l嘬示含蚧i的n的分拆(1≤i≤n，kj≥o)．显然，l”是n的平凡完备分拆，且分部数最大．当打为奇数时，1．2‘州％是矗的平凡完备分拆．月的完备分拆数记为peHn)．对于圩的完各分拆有经典的结论：引理113l疗+1的有序因子分解(无因子1)为，z+

3、l=glg!⋯qk，g，≥2，f_1．2．⋯，k一一对应于瞠的完备分拆1吼叫qlq'--!(9192)q3-1．．．(9192⋯gt—I)吼～王萼芳教授和柳泊濂教授分别在文⋯与文12l中研究了完备分拆的充要条件，计算pe凇)的递归式及显式计算公式．本文在王萼芳教授在文Iil给出的分拆完备性的充要条件的基础上来讨论完备分拆的分部量和分部数的界．2主要结果引理2⋯设正整勤f的分拆n=A+五+⋯+五，五≤五≤⋯≤五是完备分拆当且仅当①丑=1，②以=丑一，或五=1+∑丑，2-

4、上界，进而来估计圩的完备，=1分拆的分部数的下界．于是，有，一I定理l设一的分拆n=^+五+⋯+五，五=1，五≤五≤⋯≤五是完备分拆，则五≤1+∑暑，2≤，≤k，矗=1，=l可得下面的推论，推论l设露的分拆／1=^+如+⋯+以，丑=1，五≤以≤⋯≤五是完备分拆，则元≤2。1，1≤f≤k．证明由定理2，t-I，一2五≤l+∑Z=1+∑五+丑一，，=l收稿日期：2005．08-20作者简介：普昭年(1964一)，男，甘肃山丹人，河西学院数学系副教授，主要从事代数与几何的教学与科研工作．．25—万方数据普昭年：关于正整数的完备分拆的界t-2，一2t-2再由定理2有丑一，≤1+

5、∑以，代入(1)式：以≤1+∑乃+1+∑五=2(1+J=I丑≤2'-2(1+名1)=2。1．证毕．反复应用定理2，即定理2设，l的分拆，?=丑+五+⋯+五，五=l，五≤五≤⋯≤以着该分拆是完备分拆，则Ji}≥『-109：(”+1)]．其中f-口]表示大于等于口的最小整数．证明因=2‘一1，故2‘≥玎+1，因此，七≥l092(刀+1)．这表明后_Flog：(”+D1．证毕应用定理2，我们还可以估计n的完备分拆的最大分部量．定理3设厅的分拆，?=五十五+⋯+五，五=1，五≤如≤⋯≤五，是完各分拆，则五≤l半J．其中，l口j表示a的整数部分．女一1k-I证明胛=A+五+⋯+五

6、，，?一五=∑乃，再由定理2∑矗≥以一I故力一五≥五一1，所以，2五≤，2+1，有以≤l半j．证毕例厅=5时，冉的完备分拆(^，五，．．．，五)的分部数Ji}≥『-log：(5疗+DI，即k≥3最大分部量五-／IL-57+-川j，即以≤3．注在定理2中的条件不是充分的．例如，4的分拆4=l+1+2，2

7、魏万迪．组合论(上册)IMI．北京：科学出版社，1981．291～294．SomeBoundsofthePerfectPartitionofIntegerPositivePUZhao．nian(DepartmentofMathematics，HexiUniversity，Zhangye，Gansu734000，China)Abstract：inthispaper，aboundofpartsofperfectpartitionofapositivenandaboundofthenumberofthepartsaregivenrespecti