笛卡尔空间正交性

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1、关于笛卡尔空间正交性的几个问题作者：程天任背景描述：一个赋范空间，如果它的每个有限维线性子空间有正交基，则称它是笛卡尔的。如果它的每个一维线性子空间有正交补，则称它是希尔伯特的。如果一个赋范空间是希尔伯特的，则它是笛卡尔的。但是，如果一个空间是笛卡尔的？它是希尔伯特的吗？在完备的情况下这个命题成立，但是在稠密的情况下它不一定成立。2011年，数学家kubzdela解决了这个问题。他在文章”onorthogonalofimmediateextensionofc0”中举出反例。虽然这个问题已经得到解决。但是，我在

2、阅读完他的文章后，还是有几个问题。下面,一一列出。问题1介绍定理1：设x=（x1,x2,…）l以及mN，定义：Mm（x）={nN：n>m，和xnsupxk，k>m}若xE0是c0的immediateextension（包含在l中）则Mm（x）是非空的，有限的对于每个（mN）。n此外，若xc0,定义ynxiei，则dist(x,c0)=1limxy，（n）。n1定理2：pn是非负序列Mm（x）={nN：n>m，和pnsuppk，k>m}非空，有限。设x=（x1,x2,…）l以

3、及M（x）={nN：n>m，和0Xndist(x,c0)}。若xnpn（nN）。则c0+[x]是c0的immediateextension。如果E是c0中最大的immediateextension（包含在l中）。则存在z=(z1,z2…)E以至于znxnpn，nM0。和xnzndist(x,c0)。若i[1,...,n0]，则zixiyi。若iMn0，则zixi，其他情况，zi0。1.xyzxy2．xydist(x,c0)3.xzdist(x,c0)定理3（极

4、化恒等式）：122（x,y）={xyxy}4推论nm0Z=Xxe，Y=xe1iiii1Nm0n(Z,Y)=(X,xiei)(xiei,xiei)1112=x(xz,y)2m0n=x(xi,ei)(xi,ej)1122m0=x(x,ei)ej10(parseval)22xyz(xyz)22xyz2xyz22=x4(y,z)yz2xyz22xyz2xyz取zixiyi的情况，此时m0=n。则：222xyzxyz2xyz2

5、2=xyz2xx22xyz2xyz=2=（xyz）yzyz注：当m0

6、yzyzyzyz解答：首先，我们引入等式（见问题1注）。根据这个问题，我们可以得出不等式xyzxyz成立的条件。进而确定max{x1,x2,...xn}max{2xn1,2xn2,...}成立的条件。问题2介绍定理1：E是希尔伯特的，若且唯一的每一个非0元xE，存在集{wi}E，以至于{x}{wi}是E中一个最大正交集，且E=[x]+D。则D是wi的最大immediateextension。__定理2：{wi}是E中正交集。若dist(z,xi)

7、xi是E中最大正交集。若xi在E中是最大的，则E是xi的immediateextension。dxd定理3：设H是Hilbert空间，E为H的非空闭凸子集。则对于H中任意元x,均存在唯一的yE使得任取zE有5xyxz。推出若F为H的闭子空间，则存在唯一的x在F上的最佳逼近元。**定理4：设Y为内积空间的完备子空间，则X=Y+Y，Y是Y的*补空间。X中任一元可以表示成x=y+z。(yY,yY)推论设xYY*，dD。在E中D垂直于[x]。根据定理3，4：dzx。设d1infz

8、x，则存在yY使ZY。n所以，d1limznxyx因为，d1d；所以，yxd。由定理3，4知：xy垂直于Y，若z=xy有z垂直于Y。根据定理1，2：yzyxxz=yxxdzdmax{yx,xd,z,d}max{d,z}因为，zxdd所以，yzz但是z垂直于Y。那么，x与xd的关系是怎么样的呢？6解答：为非阿范