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《第七章 向量空间的正交性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七章向量空间的正交性把几何空间作为向量空间的具体模型，人们会发现向量本身的度量：向量的长度与两个向量间的夹角．而在解析几何中，这两个度量是通过向量的内积来表示，我们将把这些概念推广到任意n维向量空间．§1向量空间的内积主要知识点：向量的内积；正交向量组；施密特正交化方法；正交矩阵及其性质.重点与难点：施密特正交化方法；正交矩阵及其性质的应用.重要解题方法：施密特正交化方法..一、引例（三维向量的内积）在第四§2中，我们已经定义两个向量的内积，并且给出它的坐标表示式.设两个向量a=(a,a,a)，b=(b,b,b)，那么向量a与b的内积可表示为123123a⋅b=ab+ab+ab．
2、112233借助于三维向量的内积，我们可以表示向量的长度和两个向量间的夹角．222设向量a=(a,a,a)，那么a的长度
3、a
4、=a⋅a=a+a+a．123123设两个非零向量a=a(a,a,)与b=(b,b,b)间的夹角为θ,123123a⋅bab+ab+ab112233那么cosθ==.aba2+a2+a2b2+b2+b2123123二、向量的内积及其性质下面我们将三维向量的内积推广为n维向量的内积（将用新的记号）．184⎛a1⎞⎛b1⎞⎜⎟⎜⎟⎜a2⎟⎜b2⎟定义7.1设有两个n维实向量a=⎜⎟,b=⎜⎟,@@⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟ab⎝n⎠⎝n⎠那么实数nΤ()a,b=a1b1+a
5、2b2+?+anbn=∑aibi=abi=1称为向量a与b的内积．根据定义容易证明向量的内积满足下列运算规律：（1）()a，b=(b，a)；（2）()a+b,c=(a,c)+(b,c)；（3）()(ka,b=ka,b)；（4）对任意向量a，()a，a≥0；当且仅当a=0时等号成立．其中a为任意的n维实向量，k为实数．仿三维向量的情形，我们利用向量的内积可定义向量的长度和两向量间的夹角．定义7.2非负实数(a,a)称为n维向量a的长度，记为
6、a
7、．显然，任何非零向量的长度为正实数，零向量的长度为零．由定义2
8、ka
9、=(ka,ka)=k(a,a)=
10、k
11、
12、a
13、．长度为1的向量称为单位向
14、量．将非零向量a作运1算a，称为将向量a单位化．
15、a
16、定义7.3θ=arccos()a,b称为非零向量a与b间的夹角；如果θ=π，那么a与ba
17、
18、
19、
20、b2正交，规定零向量与任意向量正交．ΤΤΤ()(例1设向量a=(),1−1,2,1,b=(−,0,3−3,1),c=(,1,3,2−1)，计算a,b,a,c)及a与b和a与间的夹角．cΤ解：()a,b=ab=−2，Τ()a,c=ac=0，π故a与正交c，即a与间的夹角为c．2Τ又
21、a
22、=()a,a=aa=7，185Τ
23、b
24、=()b,b=bb=19，⎛−2⎞故α与b间夹角θ=arccos⎜⎜⎟⎟．⎝133⎠三、向量的正交性定义7.4如果
25、非零向量组aa,,?,a两两正交，那么向量组aa,,?,a称为正12m12m交向量组；特别地，如果aa,,?,a全为单位向量，那么正交向量组aa,,?,a称为12m12m标准正交向量组．⎛1⎞⎛0⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜0⎟⎜1⎟⎜0⎟例如，a=,a=,a=为正交向量组，1⎜−1⎟2⎜0⎟3⎜1⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝0⎠⎝1⎠⎝0⎠⎛1⎞⎛0⎞⎛1⎞⎜2⎟⎜⎟⎜2⎟1⎜0⎟⎜2⎟⎜0⎟b=,b=,b=为标准正交向量组．1⎜−1⎟2⎜0⎟3⎜1⎟⎜2⎟⎜⎟⎜2⎟⎜0⎟⎜1⎟⎜0⎟⎝⎠⎝2⎠⎝⎠三维几何空间的单位坐标向量组e,e,e是一个正交向量组，由第四章§２例5知，123e,e
26、,e线性无关．一般地，我们有123定理7.1设aa,,?,a是一个正交向量组，那么向量组aa,,?,a一定线性无12m12m关．证设有一组数kk,,?k,，使得12mm∑kiai=0．i=1m⎛⎞那么⎜∑kiai,aj⎟=()0,aj=0(j=,2,1?,m)，⎝i=1⎠利用向量的内积的运算规律，可得m∑ki()aia,j=0．i=1由于aa,,?,a是正交向量组，故当i≠j时(a,a)=0，12mij从而有k(aa,)=0．jjj1862但是(aa,)=
27、a
28、≠0，jjj故k=0()j=,2,1?,m．j所以aa,,?,a线性无关．证毕12m在维数为r的向量空间V中，如果a,a,
29、?,a是正交向量组，那么由定理7.1知，12ra,a,?,a一定为线性无关向量组．因此，a,a,?,a构成V的一个基，称为V的一个12r12r正交基．如果a,a,?,a为标准正交向量组，那么它称为V的一个标准正交基（或规范12r正交基）．⎛1⎞⎛0⎞⎛0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟3例如，在R中向量组⎜0⎟,⎜1⎟,⎜0⎟为一个标准正交基．⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝0⎠⎝0⎠⎝1⎠四、施密特正交化过程我们知道维数为r的向量空间V中任意r个线性无关的向量aa,,?,a都可以作为12rV的一个基，
