3.1.4空间向量的正交分解导学案

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1、§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1.掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2.掌握空间向量的坐标运算的规律；学习过程一、课前准备（预习教材P92-96找出疑惑之处）复习1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量，是平面上两个向量，总是存在实数对，使得向量可以用来表示，表达式为，其中叫做.若，则称向量正交分解.复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的向量作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数x，y，使得，，则称有序对为向量的，即＝.二、新课导学※学习探究探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量，能否

2、用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知：⑴空间向量的正交分解：空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使.如果两两，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量，对空间任一向量，存在有序实数组，使得.把的一个基底，都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有个.⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，

3、使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着.⑸设A，B，则＝.⑹向量的直角坐标运算：设a＝，b＝，则⑴a＋b＝；⑵a－b＝；⑶λa＝；⑷a·b＝.试试：1.设，则向量的坐标为.2.若A，B，则＝.3.已知a＝，b＝，求a＋b，a－b，8a，a·b※典型例题例1已知向量是空间的一个基底，从向量中选哪一个向量，一定可以与向量构成空间的另一个基底？变式：已知O,A,B,C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面？小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.例2如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC的中点，P,Q是M

4、N的三等分点，用表示和.变式：已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，，试用向量表示下列向量:⑴⑵.※动手试试练1.已知，求：⑴；⑵.练2.正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则点，的坐标分别是，，.※知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形.※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（）A.B.C.D.2.设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且，则点B的

5、坐标是3.在三棱锥OABC中，G是的重心（三条中线的交点），选取为基底，试用基底表示＝4.正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是.5.已知关于x的方程有两个实根，，且，当t＝时，的模取得最大值.课后作业1.已知,求线段AB的中点坐标及线段AB的长度.2.已知是空间的一个正交基底，向量是另一组基底，若在的坐标是，求在的坐标.