复数的三角形式及乘除运算

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1、复数的三角形式及乘除运算　　一、主要内容:　　复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义.　　二、学习要求:　　1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值.　　2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式.　　3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.　　4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题.　　5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方

2、法.　　三、重点:　　复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.　　四、学习建议:　　1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.　　前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表示，复数Z既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z的模和辐角来表示，设其模为r，辐角为θ

3、，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0).　　既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化.　　代数形式r=三角形式　　Z=a+bi(a,b∈R)Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)　　复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z的一个辐角，不一定是辐角主值.　　例1．下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式:　　(1)Z1=-2(cosθ+isinθ)　　(2)Z2=cosθ-isinθ　　(3)Z3=-sinθ+ic

4、osθ　　(4)Z4=-sinθ-icosθ　　(5)Z5=cos60°+isin30°　　分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可按照如下步骤进行:首先确定复数Z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率.　　解:（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:Z1=Z(-cosθ-isinθ)　　复平面上Z1(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限（假

5、定θ为锐角），余弦“-cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限.∴Z1=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)]　　（2）由“加号连”知，不是三角形式　　复平面上点Z2(cosθ,-sinθ)在第四象限（假定θ为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限.　　∴Z2=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z2=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ)　　考虑到

6、复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一.　　（3）由“余弦前”知，不是三角形式14　　复平面上点Z3(-sinθ,cosθ)在第二象限（假定θ为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式“+θ”将θ变换到第二象限.　　∴Z3(-sinθ,cosθ)=cos(+θ)+isin(+θ)　　同理（4）Z4=-sinθ-icosθ=cos(π-θ)+isin(π-θ)　　（5）Z5=cos60°+isin30°=+i=(1+i)=·(cos+isin)=(cos+isin)　　小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之

7、变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.　　例2．求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值.　　分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.　　解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2-1)+2i·sincos=2cos(cos+isin)........(1)　　∵π<θ<2π　∴<<π,　∴cos<0　　∴(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2c

8、os[cos(π+)]+isin(π+)]　　∴r=-2cos,ArgZ=π++2kπ(k∈Z)　　∵<<π　∴π<π+<2π，　∴argZ=π+.　　小结:（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为r=2cos,argZ=或ArgZ=　　错误之处在于他们没有去考虑θ角范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.看了这