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《2019届高考数学（文科）五三课件10.5《圆锥曲线的综合问题》》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§10.5圆锥曲线的综合问题高考文数(课标专用)1.(2017课标全国Ⅱ,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.A组 统一命题·课标卷题组五年高考解析(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2
2、.(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以·=0,即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.思路分析(1)设出P、M的坐标,利用=得到P、M坐标间的关系,由点M在C上求解点P的轨迹方程.(2)利用向量的坐标运算得·=0,进而证明直线l过曲线C的左焦点F.方法
3、总结求轨迹方程的方法有直接法和间接法.直接法有定义法、待定系数法和直译法.间接法有相关点法、交轨法和参数法.2.(2015课标Ⅱ,20,12分,0.247)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.解析(1)由题意有=,+=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为+=1.(2)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(
4、x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入+=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM==,yM=k·xM+b=.于是直线OM的斜率kOM==-,即kOM·k=-.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.思路分析(1)利用椭圆的离心率,以及椭圆经过的点,求解a,b,然后得到椭圆的方程;(2)联立直线方程与椭圆方程,通过根与系数的关系求解kOM,然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.B组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 定点与定值问题1.(2016北京,19,14分)已知椭
5、圆C:+=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.解析(1)由题意得,a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(3分)又c==,所以离心率e==.(5分)(2)证明:设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则+4=4.(6分)又A(2,0),B(0,1),所以,直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得yM=-,从而
6、BM
7、=1-yM=1+.(9分)直线PB的
8、方程为y=x+1.令y=0,得xN=-,从而
9、AN
10、=2-xN=2+.(12分)所以四边形ABNM的面积S=
11、AN
12、·
13、BM
14、=解析(1)由题意得,a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(3分)又c==,所以离心率e==.(5分)(2)证明:设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则+4=4.(6分)又A(2,0),B(0,1),所以,直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得yM=-,从而
15、BM
16、=1-yM=1+.(9分)直线PB的方程为y=x+1.令y=0,得xN=-,从而
17、AN
18、=2-xN=2+.
19、(12分)所以四边形ABNM的面积S=
20、AN
21、·
22、BM
23、====2.从而四边形ABNM的面积为定值.(14分)解后反思本题第(2)问可画出图形进行分析,发现点A和点B分别为椭圆的右顶点和上顶点,且四边形ABNM的对角线AN与BM互相垂直,所以S四边形ABNM=
24、AN
25、·
26、BM
27、,问题转化为求点M与点N的坐标,故设点P(x0,y0),表示出直线PA和PB,即可求得点M、N的坐标.评析本题考查了椭圆的标准方程、离心率和直线方程的相关知识及定值问题,知识点较综合,属中等偏难题.2.(2014江西,20,13分)如图,已知
28、抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上;(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2.证明:
29、MN2
30、2-
31、MN1
32、2为定值,并求此定值.解析(1)证明:依题意可设直线AB的方程为y=kx+
