复杂网络中疾病传播与免疫

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1、复杂网络中疾病传播与免疫2009-10-31疾病传播模型的描述Ⅰ.模型的传播规则：①初始时随机选择网络中一个或若干节点为染病节点（I），其余为健康节点（S）②在每一个时间步t：如果一个健康节点具有染病邻居，则它依某个事先设定的概率变成染病节点，这一概率叫做染病概率（β）；同时每一个染病节点都依某个事先设定的痊愈概率（γ）变成健康节点。③在每个时间步，这些演化规则在整个网络中被并行地执行。染病概率越大，痊愈概率越小，疾病就越有可能感染更多的人，因此，定义染病概率和痊愈概率的比值为有效传播率并用这个参数综合地衡量疾病自身特征。复杂网络的传播临界值理论复杂

2、网络的免疫策略与技术主要内容:1.疾病传播的基本知识2.SIS和SIR传播模型3.均匀网络中的SIS模型,WS模型为例进行解析4.无标度网络中的SIS模型,BA模型为例进行解析复杂网络的传播临界值理论1.疾病传播I.传染病：数理学家在研究传播行为时，往往并不区别研究对象，他们把可以在网络中传播开来的东西叫做传染病。II.在传播过程中，个体处于三个基本状态：(1)S(susceptible)—易感状态：不会传染他人，可能被传染（也就是健康状态）(2)I(infected)—感染状态：已患病，具有传染性(3)R(removed)—免疫状态：被治愈，具有免

3、疫能力，不具有传染能力，不会再次被感染（移除状态）Ⅲ.传染病模型科学家通过用基本状态之间的相互转换来建立不同的传播模型：SIS模型：易染个体被感染后，可以被治愈但无免疫力（还可以再被感染）（感冒等）SIR模型：易染个体被感染后，可以被治愈且有免疫力（不会被感染，也不会感染其它节点，相当于已经从传播网络中被清除了）（天花等）SI模型：易染个体被感染后，不能被治愈（艾滋病等）SIRS模型：易染个体被感染后，可以被治愈且有免疫力，但免疫期是有限的，还会再次回到易染状态。（乙肝？）①感染密度（感染水平或者波及范围）ρ(t)ρ(t)：传播过程中,感染节点总数占

4、总节点数的比例。ρ：传播到稳态时（）感染密度的值,称为稳态感染密度。②有效传播率λ(=/)λ非常小（很小，很大），传播达稳态时，所有节点都会变成健康节点，这种情况下就认为疾病没有在网络上传播开来，并记该疾病的稳态感染密度ρ=0。反之，当λ足够大时，疾病将一直在网络中存在而不会完全消失，只是染病节点的数目有时多有时少，这时稳态感染水平（波及范围）ρ0。把稳态感染密度从零向正实数变化的那个点所对应的有效传播率称作传播阈值（临界值）λc。它是衡量网络上的传播行为最重要的参量之一。Ⅱ.传播模型研究的主要参量SIS模型传播方程设s,i分别表示群体中S,

5、I个体所占的比例，则SIS传播的微分方程组为：SIR模型传播方程设s,i,r分别表示群体中S,I,R个体所占的比例，则疾病传播的动力微分方程组为：注:(1)传播网络是完全图，但实际网络中，只有接触才能被感染(2)并不是对每个节点都一致，而是服从分布，Newman对其进行了研究。Ⅲ.模型传播动力学方程3.均匀网络中的SIS模型Ⅰ.均匀网络：Ⅱ.解析模型三个假设：①均匀混合假设：感染强度和感染个体密度成比例。即：和为常数（均匀混合）。不失一般性，可假设=1，因为这只影响疾病传播的时间尺度；②均匀性假设：均匀网络中，每个节点的度都等于网络的平均度

6、>；③规模不变假设：假设病毒的时间尺度远小于个体的生命周期，即不考虑个体的出生和自然死亡运用平均场的方法可得：被感染个体密度ρ(t)的变化率被感染节点以单位速率恢复健康单个感染节点产生的新感染节点的平均速度，它与有效传播率、节点的平均度〈k〉，健康节点相连概率1-ρ(t)成比例，（其他的高阶校正项忽略了）。当传播达到稳态时，变化率为0，所以令上式右端为0；即：-ρ+ρ[1-ρ]=0ρ（1-λ+λρ）=0；ρ（ρ-）=0；当λ<时，ρ-必大于0，所以ρ=0；当λ时，ρ=；所以，即为临界传播值，记=。结论：在均匀网络中存在一个有限的

7、正的传播临界值λc。如果有效传播率λλc，则病毒可以在网络中传播开来，并最终稳定于,此时称网络处于激活相态；如果有效传播率λ<λc，病毒感染个体数呈指数衰减，无法大范围传播，最终将不能传播,此时网络称为吸收相态。4.无标度网络中的疾病传播Ⅰ.无标度网络：具有幂律度分布的网络，即：；网络中节点的度没有明显的特征长度Ⅱ.解析模型无标度网络的度分布是呈幂律分布，因而度具有很大的波动性，定义一个相对感染密度：度数为k的感染节点数占总节点数的比例。当t趋于无穷大时，相对稳态感染密度记为。平均感染密度：稳态平均感染密度：∝同样我们能采用MF理论来求的变化率得:

8、度为k的节点相对感染密度的变化方程为：被感染个体以单位速率恢复健康：任意一条给定的边与一个被感染节点相连的概