大题双曲线求方程、离心率

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1、双曲线一．方程（10四川）（20）（本小题满分12分）已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.解：(1)设P(x,y)，则化简得x2－=1(y≠0)………………………………………………………………4分(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)与双曲线x2－=1联立消去y得(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0由题意知3－k2≠

2、0且△＞0设B(x1,y1),C(x2,y2)，则y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝k2(＋4)＝因为x1、x2≠－1所以直线AB的方程为y＝(x＋1)因此M点的坐标为(),同理可得因此＝＝0②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为()，同理可得因此＝0综上＝0，即FM⊥FN故以线段MN为直径的圆经过点F………………………………………………12分（10重庆）（20）（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率。（I

3、）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（II）如题（20）图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求的面积。（09北京）19．（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（I）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（09陕西）21．（本小题满分14分）已知双曲线C的方程为离心率顶点到渐近线的距离为（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若求△AOB面积的取

4、值范围.解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线∴由得∴双曲线C的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为设w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由得P点的坐标为将P点坐标代入化简得设∠AOB又记由当时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值∴△AOB面积的取值范围是解答二（Ⅰ）同解答一（Ⅱ）设直线AB的方程为由题意知由{得A点的坐标为由{得B点的坐标为由得P点的坐标为将P点坐标代入设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.=w.w.w.k.s.5.u.c.o.m以下同解答一.二．离心率（10全国2）（21）（本小题满分12分）己知斜率为1的

5、直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力.【参考答案】（11江西）20.（本小题满分13分）是双曲线：上一点，分别是双曲线的左、右定点，直线的斜率之积为.（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为双曲线上的一点，满足，求的值.解：（1）已知双曲线E：，在双曲线上，M，N分别为双曲线E的左右顶点，所以，，直线PM，P

6、N斜率之积为而，比较得（2）设过右焦点且斜率为1的直线L：，交双曲线E于A，B两点，则不妨设，又，点C在双曲线E上：*（1）又联立直线L和双曲线E方程消去y得：由韦达定理得：，代入（1）式得：