今天我们研究构造齐次方程求双曲线的离心率。双曲线的几

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时间:2018-07-13

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1、今天我们研究构造齐次方程求双曲线的离心率。双曲线的几何性质中,离心率问题是重点。根据题设条件,借助、、之间的关系,找到、的不等式,可能是直接的,有的是隐含的,进而得到关于的不等式,从而解得离心率的范围。先看例题:例:若双曲线(a>0,b>0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是()解:由题意得横坐标为的点P到右焦点的距离为(利用第二定义求得),到左准线的距离为.由题意得,整理得3e2-5e-2>0,解得e>2(e>1).注意:本题中除了应用双曲线的第二定义外,也可以用两点间的距离公式,但计算量较大.整理:构造不等式求双曲线离心率的方法:

2、列出关于a,b,c的不等式,消去b,5转化成关于e的不等式求解.再看一个例题,加深印象例:双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,若P为其上一点,且

3、PF1

4、=2

5、PF2

6、,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,3)B.(1,3]C.(3,+∞)D.[3,+∞)解:依题意,由定义得

7、PF1

8、-

9、PF2

10、=2a,又已知

11、PF1

12、=2

13、PF2

14、,得

15、PF2

16、=2a,而

17、PF2

18、的最小值为c-a,所以只须c-a≤2a,所以e∈(1,3].所以本题选B总结:1.根据题设条件,借助、、之间的关系,构造、的不等关系,有时需要挖掘隐含条件,如最值等。2.在、的关系式中除以的合适次

19、数,得到关于的齐次不等式,解得离心率的范围。练习:1.设a>1,则双曲线的离心率e的取值范围是()A.(,2)B.(,)C.(2,5)D.(2,)52.设双曲线的左准线与两条渐近线交于A,B两点,左焦点在以AB为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为()A.(0,)B.(1,)C.(,1)D.(,+∞)3.已知点F是双曲线的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是().A.(1,+∞)B.(1,2)C.(1,)D.(2,)4.点P是双曲线左支上的一点,其右焦点为F(c,0),若M

20、为线段FP的中点,且M到坐标原点的距离为,则双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1,8]B.(1,]C.()D.(2,3]答案:1.52.3.4.55

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