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1、高等数学B教案—李惠第十二章无穷级数第十二章无穷级数教学目的：1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数和函数的性质。8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。9、会利用幂级数的性质求和。10、了解函数展开为泰勒级数的充
2、分必要条件。11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。教学重点：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰勒级数教学难点：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰勒级数；27高等数学B教案—李惠第十二章无穷级数§12.1常数项级数的概念和性质一、教学目的与要求：1．理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。2．理解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。二、重点（难点）：级数收敛的定义及条件三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、常
3、数项级数的概念常数项无穷级数:一般地，给定一个数列u1,u2,u3,×××,un,×××,则由这数列构成的表达式u1+u2+u3+×××+un+×××叫做（常数项)无穷级数,简称（常数项)级数,记为,即,其中第n项un叫做级数的一般项.级数的部分和:作级数的前n项和称为级数的部分和.级数敛散性定义:如果级数的部分和数列有极限s,即,则称无穷级数收敛,这时极限s叫做这级数的和,27高等数学B教案—李惠第十二章无穷级数并写成;如果没有极限,则称无穷级数发散.余项:当级数收敛时,其部分和sn是级数的和s的近似值,它们之间的差值rn=s-sn=un+1+un+2+×××叫做级数的余项.例1讨
4、论等比级数(几何级数)的敛散性,其中a¹0,q叫做级数的公比.解：如果q¹1,则部分和.当
5、q
6、<1时,因为,所以此时级数收敛,其和为.当
7、q
8、>1时,因为,所以此时级数发散.如果
9、q
10、=1,则当q=1时,sn=na®¥,因此级数发散;当q=-1时,级数成为a-a+a-a+×××,时
11、q
12、=1时,因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零,27高等数学B教案—李惠第十二章无穷级数所以sn的极限不存在,从而这时级数也发散.综上所述,如果
13、q
14、<1,则级数收敛,其和为;如果
15、q
16、³1,则级数发散.仅当
17、q
18、<1时,几何级数a¹0)收敛,其和为.例2证明级数1+3+5+×××+（2n-1）+×
19、××是发散的.证此级数的前n项部分和为.显然,,因此所给级数是发散的.例3判别无穷级数的收敛性.解由于,因此从而,所以这级数收敛,它的和是1.提示:.二、收敛级数的基本性质27高等数学B教案—李惠第十二章无穷级数性质1如果级数收敛于和s,则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛,且其和为ks.证明：设与的部分和分别为sn与sn,则.这表明级数收敛,且和为ks.表明：级数的每一项同乘以一个不为零常数后，它的收敛性不会改变。性质2如果级数、分别收敛于和s、s,则级数也收敛,且其和为s±s.证明：如果、、的部分和分别为sn、sn、tn,则.表明：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。性质3
20、在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.比如,级数是收敛的,加一项后级数也是收敛的,减一项后级数也是收敛的.性质4如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.注意:如果加括号后所成的级数收敛,则不能断定去括号后原来的级数也收敛.例如,级数27高等数学B教案—李惠第十二章无穷级数（1-1)+（1-1)+×××收敛于零,但级数1-1+1-1+×××却是发散的.推论:如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.级数收敛的必要条件:性质5如果收敛,则它的一般项un趋于零,即.证：设级数的部分和为sn,且,则.注意:级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充
21、分条件.例如调和级数尽管它的一般项，但它是发散的.因为假若级数收敛且其和为s,sn是它的部分和.显然有及.于是.但另一方面,,故,矛盾.这矛盾说明级数必定发散.27高等数学B教案—李惠第十二章无穷级数§12.2常数项级数的审敛法一、教学目的与要求：1．掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。2．掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。3．了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系二、重点（难点）：判定正项级数的
