自相似的分形曲线

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1、二维空间上的分形图形生成法分形最本质的特征是自相似性，对于整体与部分严格自相似的分形点集，其生成格式如下：(严格)自相似分形(或有规分形)的迭代生成：初始元：单位长度线段或其它几何图形；主型(motif)：又称作生成元，提供生成格式；自相似性的一点注记部分与整体具有严格的自相似的分形又称作有规分形。如Koch曲线,它是按一定的数学法则(迭代)生成的，因此它的任一片段与整体严格自相似。但自然界的分形，其自相似性并不是严格的，如海岸线，天空的云团，树的枝干等只是一种统计意义下的自相似。对于Koch曲线也可以“随机生成”－可用掷硬币的方式来决定新的部分位于被去掉部分的哪一侧。这类分形

2、又称作无规分形。分形相似维数(SimilarDimension)计算分形几何学起初确实没有太多公式，但它揭示了众多现象的自相似性，Mandelbrot紧紧抓住了双对数关系(幂律关系)，在非线性中找到了一个重要不变量——分数维数。有了这些，对于一门学科的初创者来说，也就足够了。康托尔尘埃(Cantordust)生成方法：初始元为正方形，将初始元分成16个小正方形(如右图)，保留4个小正方形，形成生成元，无穷次操作形成一点集,显然它是一个严格的自相似形分形维数:生成元由4个与初始元相似比为4的部分组Ds=ln4/ln4=1谢尔宾斯基海绵(sierpinski’ssponge)如图所

3、示，取一立方体,第一步将立方体等分成27个小立方体，舍去体心的一个小立方体和六个面上面心的小立方体,即舍去7个小立方体，保留27－7＝20个小立方体.(2)2.第二步再对每个小立方体进行同样的操作：此时保留下来的小立方体数目为20×20＝400个；3.如此反复操作直至无穷，极限情况下，小立方体的体积为零，而其表面面积之和趋于无穷大。所以实际得一个面集，是一个具有自相似性结构的规则分形系统.维数计算从一个小立方体出发，将小立方体的每边放大3倍，则此时体积放大27倍，共舍去体心和六个面面心上的7个小立方体，实际得的是N=20个小立方体；边长放大倍数为k＝3.几种严格自相似分形的生成

4、格式(1)Koch曲线基线为单位长度线段；主型中折线段数为4，即N=4；折线段长度为1/3；Levy曲线分形Levy曲线主型：皇冠分形曲线桧树分形小枝：桧(gui)树(刺柏)分形小枝：主型由五条折线段组成，设其长度为r其它分形图花篮族羊凿树叶状分形分数维(Fractal Dimension)的意义我们把维数看成是“复杂性指标”，看作是图形填充空间的程度。则在曲线的构成中，以Koch曲线为例，当转角由零度到九十度从小到大变化时，其分形维数也由1(直线段维数)从小到大，甚至接近并达到2(三角形面片)。练习题按照分形的自相似原理，设计一个严格自相似分形集，并计算其自相似分维。