1.4.3 分形_ 雪花曲线_ mathematica 程序

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1、1.4.3Koch雪花曲线的MATHEMATIC程序设计（王积社）1.4.3.1试验问题：Koch雪花曲线的MATHEMATIC程序设计.1.4.3.2试验目的：①掌握MATHEMATIC迭代程序设计方法；②用MATHEMATIC作出Koch雪花曲线；③通过试验，认识分形的妙处，掌握分形程序设计基本方法。1.4.3.3问题分析1.4.3.3.1算法分析：ABBACDE1o雪花曲线的生成元为：可见，从几何作图方法来看，生成的方法为：把线段AB三等分，得到分点C、E，再把向量CE绕C逆时针旋转60o得到D点，这

2、样图形就生成了。2o为了便于计算和处理，我们把图形放在坐标系中。设线段AB的两端点的坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),则Koch雪花曲线的生成元的关系可用向量表示为：A(x1,y1)CDEB(x2,y2)yxo１２可见，要想确定雪花曲线的生成元，关键是确定C、D、E点的坐标，为此，应该分析图中的向量关系.3o分析图中的向量关系：①先分析向量：这样即得：②再分析向量：是由旋转60o而得，于是令矩阵:,则有:而又１２A(x1,y1)CDEB(x2,y2)yxo，所以从而于是我们可用来表示.4o以上过程可

3、以说是从向量出发，求出了向量、，相当于从点集｛A、B｝出发求得了点集｛A、C、D、E、B｝.5o对点集｛A、C｝、{C、D}、{D、E}、{E、B}分别重复上面的过程（即迭代），…，如此下去（有限次）6o将所上面所生成的相应的点对连线，即可做出Koch雪花曲线.1.4.3.3.2Mathematica的画线功能：要作出雪花曲线，需要将点连线，即需要Mathematica的画线功能，经查可知Mathematica的“画线”功能函数为：Line[{{x1,y1},{x2,y2},…}](P224)——依次连接相

4、邻两点的线段，作如下试验，输入：a={{0,0},{1,0},{1,1},{0,1},{0,0}};Line[a]如果连线成功的话，应该是一个矩形，然而运行结果如下：未得所想，原因是Line[a]只是一种“意连”，但不真正画出线条１２（或者说没有显示出线条），然而我们想到Show[]可以显示图形，于是试输入：Show[Line[a]]希望显示出图形，可是运行结果却为：可见有错，错误提示的意思是“Line”不是图形元素，于是需要将“Line”转换为图形元素，这需要Graphics[]来完成，总之于是应输入以下

5、命令：Show[Graphics[Line[a]]]这样可得到：请大家注意这种做法。1.4.3.3.3算法大意：1)取点a(0,0)、b(0,1)，以其坐标做集合ab=｛a、b｝abbacde记：L=

6、ab

7、=2（ab的长度，即元素个数）１２2)求点c、e3)求点d4)令：tmp={a,c,d,e,b}。5)对点集{｛a、c｝、{c、d}、{d、e}、{e、b}}中的每对点分别重复上面的过程(迭代).6)依次连接上面所生成的相邻的点，即可划出雪花曲线。将1)～4)设计成一个从点集ab出发，构作点集tmp的模

8、块(定义为函数“koch”)，当“ab”中点较多时，应循环实现。1.4.3.3.4算法框图：由上面的分析，可得以下的算法框图定义模块说明内部变量：临时表tmp、循环变量i＝１ToL(表ab的长度)、角度变量jd（初值60o）、变换矩阵Ｔ及c、d、e等For[i=1,i

9、ist]，给出表中元素的个数(p215)Block[{tmp={},i,L=Length[ab],Degree，度(p212)jd=60Degree,sa=Sin[jd],ca=Cos[jd],c,d,e,T={{ca,-sa},{sa,ca}}},For[i=1,i

10、 得到一个由这几个表的元素顺序连接起来构成的表];Return[tmp]]pt={{0,0},{1,0}};Show[Graphics[Line[Nest[koch,pt,5]],AspectRatio->Sqrt[3]/6]]Nest[f,expr,n]      f对expr作用n次AspectRatio->1/GoldenRatio生成图形的纵横比⑸运行结果：　　迭代１次：１２迭代２次：迭代３次：迭代４次：