分形的Mathematica实现.doc

《分形的Mathematica实现.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、分形的Mathematica实现学生姓名：贾俊锋指导教师：李晓芬（太原师范学院数学系14023山西·太原030012）【内容提要】本文主要叙述了分形的发展史和分形中的两类图形Mandelbrot集和Julia集及他们的Mathematica实现。第一部分为分形的发展史，着重叙述分形的几何特征。第二部分着重叙述Mandelbrot集和Julia集，以及Mathematica程序设计、运行结果。【关键词】分形，Mandelbrot集，Julia集。分形是自然界的几何学。——Mandelbrot（分形理论创始人）一、分形的发展史1.1分形概念的提出与分形理论的建立分形在英文中为fractal,由

2、美籍数学家Mandelbrot创造出来的，源于拉丁文（形容词）fractus,（动词）frangere它与英文的fraction（碎片）及fragment（碎片）具有相同的根。在20世纪70年代中期以前，Mandelbrot一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想,因此，取拉丁词之头，撷英文之尾所合成的fractal,本意是不规则、破碎的、分数的。Mandelbrot是想用此词描述自然界中传统欧氏几何学不能描述的一大类复杂无规的几何对象，例如：蜿蜒曲折的海岸线，起伏不定的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云。它们的特点：极不规则或极不光滑。1975年，Mandelbrot出版

3、了他的法文专著《分形对象：形、机遇与维数》，标志着分形理论正式诞生。1977年，他又出版了该书的英译本。1982年Mandelbrot的另一历史著作《大自然的分形几何》与读者见面，该书虽然是前书的增补本，但在Mandelbrot看来却是分形理论的“宣言书”，而在分形迷的眼中，它无疑是一部“圣经”，该书从分形的角度考察了自然界中诸多现象，引起了学术界的广泛注意，Mandelbrot也因此一举成名。1.2分形的几何特征Mandelbrot（1986年）曾经给分形下过这样一个定义：组成部分与整体部分以某种方式相似的形，也就是说：分形一般具有自相似性。然而理论发展到今天，不限于研究对象的自相似性质

4、了，如果一个对象的部分与整体具有自仿射变换关系，我们也可以称它为分形。今后，条件可能进一步拓宽，只要部分与整体以某种规则联系起来，通过某种变换使之对应，我们可以将其看成分形，分形的本质就是标度变换下的不变性。1.2.1自相似性自相似性便是局部与整体的相似。它的例子有Cantor三分集、Koch曲线、Sierpinski垫片。Cantor三分集大家都清楚它的构造，这里就不再叙述。Koch曲线的构成如下：取一条欧氏长度为l的线段，将其三等分，保留两端，将中间改换为夹角为60的两个线段。对每一线段重复上述操作以至无穷，便得到一条具有自相似的折线，这就是Koch曲线。（图1）Sierpinski垫

5、片的构成如下：取初始图形——等边三角形面。将这个等边三角形面四等分，得到4个小等边三角形面，去掉中间一个，将剩下的3个小等边三角形面分别进行四等分，再去掉中间的一个，重复以上操作直到无穷。（图2）1.1.1自仿射性自仿射性是自相似性的一种拓展。如果将自相似性看成是局部到整体性在各个方向上的等比例变换的结果的话，那么，自仿射性就是局部到整体在不同方向上的不等比例变换的结果，前者是自相似性变换，后者是自仿射性变换，图3表示相似变换与仿射变换的不同结果。1.2.3精细结构分形还有一个更重要的特征：即精细结构。在理论上，Koch曲线是按一定规则无限变化的结果，所以，如果有一个数学放大镜来看Koch

6、曲线的话，无论放大多少倍，都能看到里面还有与整体相似的结构。这一点，不由得使人想起了庄子《天下篇》中的“一尺之槌，日取其半，万世不竭”，这里我们不打算讨论物质是否无限可分，我们只是注意到分形和自然对象都具有极多层次的结构，这是分形体最基本特征，自然界中的对象与数学中的分形还是不一样的。如下图，可以看出分形的精细结构。1.2.4分形维数对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。但用这种办法对分形的层层细节做出测定是不可能的。曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。分形的主要几何特征是关于它的结构的不规则性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规则性和复杂性程度的度量，

7、这可用“维数”来表征。维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的内涵。整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。我们知道0维是点，一维是线，二维是面，三维是空间。那么，谁能告诉我1.5维是什么?一条直线段是一维的，由四条这样的直线段组成的正方形是二维的。六个这样的正方形组成的正方体是三维的。直线的长度数值，正方形的面积数值和立方体的体积数值都和我们测量的单位有关。测量的单位也往往是