河北职业技术师范学院教案 编号 20

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1、河北科技师范学院教案编号20学年度第学期系（部）数理系教研室数学任课教师课程名称概率统计授课章节：第七章参数估计授课班级授课日期课题参数估计的基本概念点估计时数2教学目的及要求使学生熟练掌握参数估计的基本概念和点估计的两种方法及评选估计量的标准教学重点参数估计的基本概念和点估计的两种方法及评选估计量的标准难点对最大似然估计的基本方法的理解及应用教法、教具讲授法课堂设计（教学内容、过程、方法、图表等）时间分配（一）回忆样本的数字特征和随机变量独立性的判断的充要条件（二）新课第一节参数估计的基本概念参数估

2、计问题分为两种情况：（1）已知总体的分布类型，而其中的参数未知；（2）无论总体服从什么分布，只需对某些数字特征（如数学期望、方差等）作出估计．由第四章的讨论知，随机变量的数字特征与它的分布中的参数有一定关系，因而数字特征的估计问题也就称为参数估计问题．由于样本来自总体，它必然在一定程度上反映总体的性质，因而在参数估计问题中，常要用样本的某个适当函数来估计总体的参数．给出如下定义：定义1设总体的分布函数为（或分布密度为），其中为未知参数，为来自总体的样本．今由样本构造一个统计量，如果以这个样本函数去估计

3、参数，则称为参数的估计量．如果是样本的一组观察值，将它代入就得到的具体值，这个数值常称为参数的估计值．如果要求构造一个统计量来作为未知参数的估计量，就称为参数的点估计．如果要求构造两个这样的统计量和，而用作为未知参数可能取值范围的一种估计，就称为参数的区间估计．第二节点估计下面介绍参数估计的矩估计法与最大似然估计法，并对估计量的评选标准作一些说明．一矩估计法定义1设总体的分布函数中有个未知参数，假定总体的阶原点矩存在，它也是的函数，并记为，（）（7.1）设为来自总体的样本，其阶原点矩为，用样本矩作为总

4、体矩的估计，则得到含个未知参数的方程组（7.2）解此方程组得的一组解，…，．则称为参数的矩法估计量．这种求估计量的方法称为矩估计法．二最大似然估计法不论分布类型已知或未知，对其参数估计，矩估计法均可行．当总体分布类型已知时，对其参数估计最好用最大似然估计法．因为这种方法充分利用了总体分布所提供的信息，有很多优良性质．最大似然估计法的基本思想是：用样本去估计总体参数时，应使得参数取这些值时所观察到的样本出现的概率为最大．按此想法再利用总体的分布函数及样本提供的信息找出总体未知参数的估计量．定义2设总体为

5、离散型随机变量，其概率分布律为，其中是未知参数，设为来自总体的样本，则的联合概率分布律为，（7.5）函数（7.6）称为似然函数．当固定时，是的函数，如果在达到最大值，则分别称为的最大似然估计值，而相应的统计量，…，分别称为的最大似然估计量．当为连续型随机变量时，只须将定义2中的概率分布律换成的概率密度函数，对来自总体的样本，的联合分布密度为，（）相应仍可写出与（7.6）相同形式的似然函数，用同样的方法来求最大似然估计量．由如上讨论知，求最大似然估计量的问题，就是求似然函数的最大值问题，因此，当关于可微

6、时，可由方程组，（7.7）定出（）．因为与有相同的极值点，所以也可由方程组（7.8）定出．应用方程组（7.8）常比直接应用（7.7）方便．一般地求最大似然估计量时，常采用方程组（7.8），称方程组（7.8）称为似然方程．三估计量的评选标准对于总体分布的未知参数，不同的估计方法可能获得不同的估计量．采用哪一个更合理呢？即用什么标准评价估计量的问题，下面介绍点估计的三种常用的评选标准．1无偏性定义3设是未知参数的估计量，如果，则称是的无偏估计量．2有效性要比较参数的两个无偏估计量的优劣，自然是方差较小的估

7、计量较好，因而引进如下定义．定义4设都是的无偏估计量，如果，则称较有效．3一致性无偏性与有效性都是在样本容量固定的前提下提出的．我们自然希望随着样本容量的增大，一个估计量的值稳定于待估参数的真值．这样，对估计量又有下述一致性的定义．定义5设为参数的估计量，若对于任意，当时，依概率收敛于，则称为的一致估计量．例1设总体服从正态分布，求的最大似然估计量．例2验证样本均值是总体数学期望的无偏估计量．作业参考文献作业参考文献同上课后小结教研室主任（签字）：