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1、河：!圉技ffl范学院教案编号学年度第—学期系（部）数理系教研室数学任课教师耗名称概率统计授课章节：第四章随机变量的数字特征第一节数学期望课题数学帼时数2教学目的及要求使学4做练掌握一^二维随机变呈的数学期望和随机变呈函数的数学期望绯、二维随枇变虽的数学期望和随机变駅函数的数芽期望难点随机变吊涵数的数学期望鮭、(_)(二)课堂设计（教学内蓉方法.图表等）回忆加权平均值的概念1先看一个例子.某一嫡学考试采用5分制计分抽査部分参力I圉试者的成绩，得到如下数据：得1分者有1人，得2分淆有2人，得3分者有6人，得4分者有8人，得
2、5分者有3人问酬查者的平均得分是多少？因为共抽査了“=1+2+6+8+3=20人,所以，被抽查者的平均得分为1x14-2x2+3x6+4x8+5x3_（分）20如果观察I谜被抽査者屮任意一人的得分，那末得到一随机变此记作X,则X的分布列为X12345Pi120220620820320从而，这20人的平均得分可表示为35•=/x；Pi=3.5・20S如此计算所得的平均值，ml做加平均值，其中的丄，Z,2,2L,2分2020202020别叫做数1,2,3,4,5的权，这种平均值在概率论屮称为数学期望・X=lx—+2x—+3x
3、—+4x—+5x—20202020时间注：当随机变量X只取有限个值兀1,兀2，£时,E(X)=》耳必•k=(4.3)定义1设离散型随机变量X的概率分布为P{X=xk}=pk,伙=1,2,3…)，如果0000工XkPk绝对收敛，那么称级数工5为X的数学期望，记为E(X),即A=14=1coE(X)=£qpk，数学期與也简利朗望或均值*=1例1(二项分布)设X〜(仏〃)，求£(%).解因为X的概率分布为P{X=k=Cpkqn'k,R=0,1,2,…,n,其中04、•-k=ok=k=l(k-iy.(n-k)=W工C壮pkW*=np(p+q)n~[=np.R=i当xl时的二项分布就是0—1分布，所以0—1分布的数学期望是E(X)=p.例2(泊松分布)设X~P(g>0),求£(X).—A解因为p{x=k}=^-^9R=0,1,…，所以kcooo2^—1E(X)==(令2—1)r=0kgi伙-1)!8a=A—e~k=A.分！此例说明泊松分布中的参数Q就是随利废最X的数学期望.定义2设進卖型随机变量X的概率密度为/心)，如果[：b
5、p(x)dx收敛，那么称]：可心)必为X的数学期
6、望，记为E(X),即(4.2)E(X)=J：："(x)〃x•设x为碗机变量，卜而腫:x的函数丫*(x)的数学期望.当然，我们可以先由X的分布算出丫的分布，然后按公式來计算E(Y).但实际上可由下血定理直接计算E(Y),而不必求出Y的分布.艇1设y=g(x),这里g(x)是个连续的实两数(1)设X是离散型随机变量，其分布律为p{x=xk}=pk,"1,2,…，若8DgPk绝对收敛’则k=l00E(Y)=Etg(X)]=YsWPk•k=(2)设X是连续型随机变虽，其密度两数为/心)•若无穷限非正常积分「鼻⑴/心皿绝对收敛'
7、则E(Y)=E[g(X)]=r"g(x)p(x)dx・4Nfifi机变量(X,Y)的R学期望以下介绍二维随制期(X,Y)的数学期望.定义3如果狮厦晟X』的数学期望均存ft,那么称(E(X),E(Y))为二维随机变量(XV)的数学期望.艇2设z=/(x,r)是随机变量X"的连续函数，于是Z也是随机变量.⑴若(X,Y)为离散型随机变斌则E(Z)=E[f(XJ)]二工》/(兀•，力巾g,力)•(4.5)iJ这里要求(4.5)式右边的级她対收敛，其中p(xhyj)为(X,Y)的概率分布.⑵若(X,Y)为连续型随机变量，则E(Z)
8、=E[f(X,/)]=[:[：.f(x,.V)P(x,y)dxdy•(4.6)幼嘤求(4.6)式右边积分绝对收敛，其'PpUy)为(X")的概率密度•特另哋，当(XV)为离散型随机变量时，冇E(x)=“iPx(x/)=EEj/“a•，力八£(r)=EyjPr力〃(舌，y丿)iijJJi其中"xg)，Py(yj)为边沿概率分布列•当(X,Y)为连续型随机变量时，有r+00C+00f+8E(X)=J—JPx(x)dx=‘r+8«•4-0Qr+8e(y)=L>ypyg=LooLoo恥，刃如y•其中px⑴,py(.v)为边沿概率
9、密度二以下，倒缎豁随机i厦的数学期望存在的晴况下，研繼^绷m的-些件质性质1设c为常数，贝lj£(c)=c.性质2设X为•随启废竝，c是个常数，则E(cX)=cE(X).性质3设X,Y是任意两个随机役鼠，则E(X+Y)=E(X)+E(Y).特例：设X为…随机变屋，b,c是任意常数，则E(bX+c)=hE(X)+c.性
