矩阵的特征值与特征向量

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时间:2017-11-11

矩阵的特征值与特征向量_第1页
矩阵的特征值与特征向量_第2页
矩阵的特征值与特征向量_第3页
矩阵的特征值与特征向量_第4页
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1、第四章矩阵的特征值矩阵的特征值、特征向量和相似标准形的理论是矩阵理论的重要组成部分.它们不仅在数学的各分支,如微分方程、差分方程中有重要应用,而且在其他科学技术领域和数量经济分析等各领域也有广泛的应用.如物理、力学和工程技术中的许多问在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量的问题1引例矩阵与向量的乘法设4.1特征值和特征向量是原像的倍数.二元实向量1,2的像A1,A23与A3就不具有这个性质.2一、矩阵的特征值与特征向量的概念定义4.1设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量成立使关系式A=那么,这样的数称为方阵A的特征值,非零向量称为A的

2、对应于特征值的特征向量.为什么应该是非零向量?3二、矩阵的特征值与特征向量的求法为了进一步讨论矩阵A的特征值和特征向量的计算方法,把定义公式A=改写成(I–A)=0即是齐次线性方程组(I–A)x=0的非零解.det(I–A)=0由齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是4特征多项式和特征方程的定义定义4.2设A=(aij)为n阶矩阵,含有未知数的矩阵I–A称为A的特征矩阵.其行列式称为A的特征多项式.det(I–A)=0称为A的特征方程.5推论1如果是A的属于0的特征向量,则c(c0为任意常数)也是A的属于0的特征向量

3、.推论2如果1,2都是A的属于0的特征向量,且1+20,则1+2也都是A的属于0的特征向量.由齐次线性方程组解的性质:6例设矩阵求A的特征值与特征向量.三、举例解A的特征多项式为所以,A的特征值为7当时,解方程组即解之得基础解系为所以是对应于的全部特征向量;8当时,解方程组得基础解系:所以是对应于的全部特征向量.9例设矩阵求A的特征值.解A的特征多项式为所以,A的特征值为特征值的计算不容易!!10例n阶对角矩阵A,上(下)三角形矩阵B的特征值都是它们的n个主对角元a11,a22,,ann.因为它们的特征多项式为I–A=I–

4、B=(–a11)(–a22)(–ann)11练习解1213当时,解方程组14求矩阵特征值与特征向量的步骤:1.计算的特征多项式

5、I–A

6、;2.求特征方程

7、I–A

8、=0的全部根1,2,···,n,也就是A的全部特征值;3.对于特征值i,求齐次方程组(iI–A)x=0的非零解,也就是对应于i的特征向量.15关于矩阵的特征值的几点说明1.若n阶矩阵的特征值都是实数,则它们不一定各不相同,即矩阵的特征值可以是特征方程的重根.在计算特征值的个数时,重根按重数计算.2.k重根叫做k重特征值。163.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言

9、的.一个特征向量不能属于不同的特征值.如果X同时是A的属于特征值l1,l2(l1l2)的 特征向量,即有则l1x=l2x即(l1-l2)x=0.由于l1-l20,则x=0,而这是不可能的.**17例4设矩阵A为对合矩阵(即A2=I),且A的特征值都是1,证明:A=I.由于A的特征值都是1,这说明-1不是A的特征值,即

10、I+A

11、0.因而I+A可逆.(I+A)-1即可得A=I.在(I+A)(I–A)=0两端左乘由A2=I可得(I+A)(I–A)=0,证明18定理1若x1和x2都是A的属于特征值l0的特征向量,则k1x1+k2x2也是A的属于l0的特征

12、向量. (其中k1,k2是任意常数但k1x1+k2x20)四.特征值与特征向量的性质证由于x1,x2是齐次线性方程组(l0I-A)x=0的解,因此k1x1+k2x2也是上式的解。故当k1x1+k2x20时,是A的属于l0的特征向量.19称A的主对角元的和为A的迹,记作tr(A)。*证:设(*)=n+c1n1++cknk++cn-1+cn(*)式可表示为2n个行列式之和,其中展开后含n1项的行列式有下面n个:定理4.2若n阶矩阵A=(aij)的n个特征值1,2,,n,20它们的和等于(a11+a22+…+ann)n1

13、=(*)式中不含的常数项为21结论:当detA=0时,A至少有一个零特征值.当detA0时,A的特征值全为非零数;所以,由根与系数的关系及常数项相等,得22矩阵的特征值和特征向量的重要性质:性质1:若l是矩阵A的特征值,x是A在属于l的 特征向量,则(i)kl是kA的特征值(k是任意常数),(ii)Lm是Am的特征值(m是正整数),(iii)当A可逆时,l-1是A-1的特征值;且x仍是矩阵kA,Am,A-1的分别对应于特征值kl,lm,1/l的特征向量.23证(ii)A(Ax)=A(lx)=l(Ax)=l(lx),即A2x=l2x再继续上述步骤m-

14、2次,就得Amx=lmx.(iii)当A可逆时,l0,由Ax=lx可得A-1(Ax)=A-1

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1、第四章矩阵的特征值矩阵的特征值、特征向量和相似标准形的理论是矩阵理论的重要组成部分.它们不仅在数学的各分支,如微分方程、差分方程中有重要应用,而且在其他科学技术领域和数量经济分析等各领域也有广泛的应用.如物理、力学和工程技术中的许多问在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量的问题1引例矩阵与向量的乘法设4.1特征值和特征向量是原像的倍数.二元实向量1,2的像A1,A23与A3就不具有这个性质.2一、矩阵的特征值与特征向量的概念定义4.1设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量成立使关系式A=那么,这样的数称为方阵A的特征值,非零向量称为A的

2、对应于特征值的特征向量.为什么应该是非零向量?3二、矩阵的特征值与特征向量的求法为了进一步讨论矩阵A的特征值和特征向量的计算方法,把定义公式A=改写成(I–A)=0即是齐次线性方程组(I–A)x=0的非零解.det(I–A)=0由齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是4特征多项式和特征方程的定义定义4.2设A=(aij)为n阶矩阵,含有未知数的矩阵I–A称为A的特征矩阵.其行列式称为A的特征多项式.det(I–A)=0称为A的特征方程.5推论1如果是A的属于0的特征向量,则c(c0为任意常数)也是A的属于0的特征向量

3、.推论2如果1,2都是A的属于0的特征向量,且1+20,则1+2也都是A的属于0的特征向量.由齐次线性方程组解的性质:6例设矩阵求A的特征值与特征向量.三、举例解A的特征多项式为所以,A的特征值为7当时,解方程组即解之得基础解系为所以是对应于的全部特征向量;8当时,解方程组得基础解系:所以是对应于的全部特征向量.9例设矩阵求A的特征值.解A的特征多项式为所以,A的特征值为特征值的计算不容易!!10例n阶对角矩阵A,上(下)三角形矩阵B的特征值都是它们的n个主对角元a11,a22,,ann.因为它们的特征多项式为I–A=I–

4、B=(–a11)(–a22)(–ann)11练习解1213当时,解方程组14求矩阵特征值与特征向量的步骤:1.计算的特征多项式

5、I–A

6、;2.求特征方程

7、I–A

8、=0的全部根1,2,···,n,也就是A的全部特征值;3.对于特征值i,求齐次方程组(iI–A)x=0的非零解,也就是对应于i的特征向量.15关于矩阵的特征值的几点说明1.若n阶矩阵的特征值都是实数,则它们不一定各不相同,即矩阵的特征值可以是特征方程的重根.在计算特征值的个数时,重根按重数计算.2.k重根叫做k重特征值。163.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言

9、的.一个特征向量不能属于不同的特征值.如果X同时是A的属于特征值l1,l2(l1l2)的 特征向量,即有则l1x=l2x即(l1-l2)x=0.由于l1-l20,则x=0,而这是不可能的.**17例4设矩阵A为对合矩阵(即A2=I),且A的特征值都是1,证明:A=I.由于A的特征值都是1,这说明-1不是A的特征值,即

10、I+A

11、0.因而I+A可逆.(I+A)-1即可得A=I.在(I+A)(I–A)=0两端左乘由A2=I可得(I+A)(I–A)=0,证明18定理1若x1和x2都是A的属于特征值l0的特征向量,则k1x1+k2x2也是A的属于l0的特征

12、向量. (其中k1,k2是任意常数但k1x1+k2x20)四.特征值与特征向量的性质证由于x1,x2是齐次线性方程组(l0I-A)x=0的解,因此k1x1+k2x2也是上式的解。故当k1x1+k2x20时,是A的属于l0的特征向量.19称A的主对角元的和为A的迹,记作tr(A)。*证:设(*)=n+c1n1++cknk++cn-1+cn(*)式可表示为2n个行列式之和,其中展开后含n1项的行列式有下面n个:定理4.2若n阶矩阵A=(aij)的n个特征值1,2,,n,20它们的和等于(a11+a22+…+ann)n1

13、=(*)式中不含的常数项为21结论:当detA=0时,A至少有一个零特征值.当detA0时,A的特征值全为非零数;所以,由根与系数的关系及常数项相等,得22矩阵的特征值和特征向量的重要性质:性质1:若l是矩阵A的特征值,x是A在属于l的 特征向量,则(i)kl是kA的特征值(k是任意常数),(ii)Lm是Am的特征值(m是正整数),(iii)当A可逆时,l-1是A-1的特征值;且x仍是矩阵kA,Am,A-1的分别对应于特征值kl,lm,1/l的特征向量.23证(ii)A(Ax)=A(lx)=l(Ax)=l(lx),即A2x=l2x再继续上述步骤m-

14、2次,就得Amx=lmx.(iii)当A可逆时,l0,由Ax=lx可得A-1(Ax)=A-1

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