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《微分几何方法与非线性控制系统_1_张嗣瀛》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、.,.第21卷第1期信息与控制Vol21No1微分几何方法与非线性控制系统(1)张嗣流王景才刘晓平,”。`《东北工学院自控系沈阳阅)1引言,,近年来微分几何方法作为一种新的工具被引人控制系统特别是非线性控制系统的,.,;“研究中并得到很大发展正如sIidori在【1】中所说近10年来微分几何方法对于非线,性系统的研究证明是成功的这就象50年代研究单输人单翰出线性系统所用的拉氏变换,.,及复变函数60年代研究多变量线性系统用线性代数那样因此,从某种意义上说,微分几何方法的引人,标志着控制理论发展的一个新阶段.微分几何方.似乎更为抽象和困难.法较之拉氏变换或线性代数事实也确实如此但.
2、,,,是微分几何与控制系统之间毕竟存在着内在联系不然也不会得到应用和发展弄清这些联系,可能就不会感到很抽象了.何况,有时就需要理解和掌握抽象的东西.此外,,,,,由于它涉及数学知识较多使得学习这种工具增加了难度但是只要付出一定努力理论工作者和工程师都是能够掌握和运用它的.,,.本文中特别是初始阶段我们将尝试说明一些这种联系并多做些感性上的解释当然,也只能做到一定程度.2“”微分几何与控制系统的接口..,”,Rk1976“wBrocct于年发表了一篇文章②名为非线性系统及微分几何文中分析了一个例子.考虑如下的非线性系统u,.x+ux,xx。`“玄(t),八()Z八()(o),R“,
3、,..’ul“:=土汾其中控制可分别取士1或。于是系统可按汾fl或=士八运动今,..,设系统逐次按戈二石(x)戈二几(x)*=一石(x)*=一石(x)各运动t单位时间如果,.x。x0初始位置为试间运动过程终了后系统是否又回到设运动终了时的位置为x’看图,.渗1)今计算`应用展式`__,、,,、,tZ、,,、,,、找石..x几`o。一I)留戈。+,ItX)+气:犷)屯:1八工)十0叹I)`,t离经计算后可得__,,旦f2,,、,,一疚石·`x`’xo+l`J,气xo)一I,叹xo))+”丽丽收稿日期:1991一09一259信息与控侧,午第到卷第I期.可见在一般情况卜,x;回不到与·
4、`,.:,正是微分几河中的李括号更重要的是.j扣!抓砰吧的项不是别的,找人口人Xl...11一,12!=二二一1-一下尸一.12(1)口XCX,,丫丫又x;是系统的可i玉位释这样李括号x就与可达集从而与东统的能控性联系起卜来,于是便找到了控制系统与微分几何间`’,厂的一个接口使得微分几何有可能作为.1,研究非线性系统的一种工具图..,.,运动示愈图万石是向址进行李括号运算后习仍然是一个向虽.,.,粗略说`”在以后的研究中关于一般非线性系统能控问题的结论来是这样的考虑系统.,了、护、.、、声性.户.戈=f(x。)砚乙飞ù定义,F么于f(xu)Iu=eonst}即F为当为常数时一切
5、.f(x,u)的集合.记笋为F所生成的李代数..,.,垒{F}:刁二于艺,,fr音厂盆…frI:。R’;了匀.。,·,,:s;<对F,”;co;t<。}(4)宝里...,.,_,,「几,几,…厂幼=汀:f[2f[;一「儿:儿:1即白后向前逐次进行李括号运许.为系统(2)的能控性李代数.笋称,萝的所有元素都是向址梦就是由这些向址按上而的定义进行李括号运算后所生成的,空间若此空间的维数为n(n为控制系统(2)的维数)dimj犷=n(5)则称能控性李代数满秩.这时系统(2)是在某种定义下能控的(详见3rD.由此可看到系统的能控性与李括号以及李代数间的关系.对于线性系统分=Ax+b`u,
6、艺(6),可得出能控性条件(”若用上而的方法处理n:.,,:,,,“一ll,,“一,,narklb一b;月b一刀b;…;月b一月bI二这种形式的对于线性系统的能控性条件,是为大家所熟悉的.微分几何方法不仅能用来研究非线性系统的能控、能观性.还可用来研究系统的解祸、线性化、分解、实现理论等方而的问题.3流形与映射,.31流形一个例子,如所熟知对于线性控制系统张:嗣碱等微分儿何方法与非线性控制系统(I)戈=A+BXu(7),、,,在研究它的一些性质时例如能控能观性可应用线性代数的方法将状态空间分解为.,,,一些子空间如能控子空间(AB卜不变子空间等但对于一般非线性系统,就不能如上那样
7、处理了.这是因为系统的动态木质不同了,,,,例如它不再如线性系统那样在状态空间中的某种子空间中描述其运动(比如在某一,,,xl十:=0上运动线性子空间x2且只是在此平而上运动时才能到达原点这也就是能控子空间),而是在一些子流形上描述其运动.流形是微分几何中的一个基本概念,这里,不想从严格的定义出发介绍流形,而是试图从更直观和感性易于接受的角度,引入流形.考虑下面的例子t4)两连杆oa及ap,其中oa可绕口点转动,ap可绕a点转动.在p点处有一小球,今xx.p厂:上的运动分析点在平
