微分几何方法与非线性控制系统_5_张嗣瀛

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1、.,.第21卷第5期Vo】21No5信息与控创.,1992年10月ortnationaContOct1992玩f耐orl微分几何方法与非线性控制系统(5)张嗣流王景才刘晓平(东北工学映,,自控东忱阳U以沁弓)8控制系统中的对称结构及相似结构8.1对称性及相似性,,,、当前对系统科学的发展国内外都给予极大的关注并致力于从不同的侧面观点探索其规律..,,今考虑自然形成的控制系统这种系统在其发展过程中摇要适应外界环境并力求以最.,“”佳状态运行故应是自寻最优地逐渐演化而形成其结构这类系统除具有很强的非线性和相.、、,,(人和生物)

2、当的复杂性外在结构上也有其明显的共性和特征例如对称性相似性(社会管理等系统的.组织结构具有相似性)以及其它可能的结构.生物系统结构的相似性在我国针灸医疗系统中早被察觉并应用人体经络系统的穴位分.,,布是由不同层次的与总体(人体)相似的子系统构成的例如人耳如卧要其上穴位与人体对.“”,“应山东大学张颖清教授提出生物全息律l[]指出生物体的任意相对独立部分与整体相.”““,似钱学森教授认为张提出了生物是若干相似的中间层次结构所组成的(见【1〕中的序)但、.,张不研究系统的控制间题也不研究社会管理等系统、,,仅就对称相似性来看一个

3、自然的控制系统似由具有对称结构和相似结构的不同层次.“”,,?子系统组成的若为最佳那么这种结构的优点何在具有哪些性质与功能?各层次间如何,具体地构成以及作用机理如何?由功能不同的子系统所构成的大系统又有何种不同质的功能呢?…….,,从上述观点出发研究控制系统国内外似尚未见到但是确已有人研究过控创系统的对.,〔幻称性关于极特殊的相似组合系统也有人讨论过田,,上面提到的问题都远未清楚但若能获得某些实质性的规律则由于这类系统的广泛代表.,,性将有重要的理论和实际意义本章的目的是希望这一方面的研究能引起同行们的兴趣和.,关注因此就控

4、侧系统中的对称结构及相似结构做一简要介绍8.2对称结构的橄学描述.,要讨论系统的对称性如何用数学语言来描述或定义系统的对称性是一个关健问题我们,,知道对称性是事物经过某些变换后仍保持的不变性或部分不变性一般说来系统的对称性·“是指其动态在一个或一族(坐标)变换下保持不变的性质’t]而一族坐标变换构成一个笋作..”用因此用徽分几何方法来描述控制系统的对称性较为有效在给出对称性定义之前先介绍几个有用的概念.〔s]:;,定义l(李群及李代数)如果一个集合G满足(l)是一个徽分流形(2)是一个李群.,.且群,运算是光滑的则此集合即为

5、李群在李群上其所有左不变向t场(.LX=X)的集合穿.收摘日期1991一05一06:张.注等徽分几何方法与非线性挽翻系统5)(.,在李括号意义下构成一个k~hd(imG)维李代数称它为李群G的李代数又g同构于单位.e,元处的切空间T日g因此通常也称T日口为李群G的李代数,G是,:定义2(群作用)设材是一个光滑流形李群若光滑映射必Gx刀J~M满足e,,x必(x)一二V任M,x,,x,,,必(gh)一必(了中(入))VxeMgh任G.:卜卜,x,则称必是李群G在M上的作用值得注意的是映射气工必(g)是M到对上的微分同胚.二,一,

6、:,x;其逆映射为叭如果映射必g,必(gx)是一一的则称作用毋在处是自由的如果中在·.所有x任M处都是自由的则称巾是自由的下面就来介绍对称性的概念.〕工(,,,定义3(对称性)z[设BM力是一个控制系统6和必分别是李群G在B和M上的.g任G,作用如果对所有的均有气一f一f0.60o二二.6=气..万G,必,的,则称系统具有对称性(其中是由B到M的投影映射此定义的一个很重要的特例就是对称性发生在状态空间上的.即当B一MxU时系统工.,.,):,(),G,必)关于屯及.0一(汽dI(xu)冲气(xu)具有对称性这种对称性被称为状

7、态对称(.以上对称性概念是建立在全局意义上的,,由于实际应用中特别是关于非线性控制系统,,大部分问题均属于局部情形为此下面给出局部对称性定义即无穷小对称及无穷小状态对称.艺(B,,,a和巾分别是李群G在B和M上定义4(无穷小对称)设对力是一个控制系统.,x。`,的群作用如果对于每个x0任对存在的一个邻域V及>O使得`。tT(匀)f(b)~f((毛)b).,一,,`,对所有的b〔(v)}tI<及右〔2》G(l泞“<1)均成立则称系统万具有无穷小对称(G.·:,,,中6)其中了乍G是G的李代数而}I}是丁扰子上的某一个设定范数而

8、T(勃)表示(份)t.(台)`(乙),,.的切映射及分别是无穷小生成元`及乙的积分曲线这里,d二叮衬L工夕j:eX心,,二o=岁灭tP才少!U乙.,=一,,,宁],,子`,宁它满足民卜斗〕〔了飞G)设万(M,,,定义5(无穷小状态对称XUM了)是一个控制系统币是李群G在材上的作.。x,x。