微分几何方法与非线性控制系统（1）

《微分几何方法与非线性控制系统（1）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、维普资讯http://www.cqvip.com第2I卷第1期信息与控制Vo1．2I，No．Il992年2月InformationandControlFcb．．1992微分几何方法与非线性控制系统(1)；7-张嗣王景才刘晓平丫尸z-7a’--____●l●__-_(东北工学院自控系，沈阳l10006)．，砂珂身}缓．系缀柱利系l引言近年来，微分几何方法作为一种新的工具，被引入控制系统特别是非线性控制系统的研究中，并得到很大发展．正如Isidori在[1】中所说：。近10年来，微分几何方法对于非线性系统的研究证明是成功的，这就象50年

2、代研究单输入单输出线性系统所用的拉氏变换及复变函数，60年代研究多变量线性系统用线性代数那样．因此，从某种意义上说，微分几何方法的引入，标志着控制理论发展的一个新阶段．微分几何方法较之拉氏变换或线性代数，似乎更为抽象和困难，事实也确实如此．但是，微分几何与控制系统之间，毕竟存在着内在联系，不然也不会得到应用和发展．弄清这些联系，可能就不会感到很抽象了．何况，有时就需要理解和掌握抽象的东西．此外，由于它涉及数学知识较多，使得学习这种工具增加了难度，但是，只要付出一定努力，理论工作者和工程师都是能够掌握和运用它的．本文中，特别是初始阶段

3、，我们将尝试说明一些这种联系并多做些感性上的解释，当然，也只能做到一定程度．2微分几何与控制系统的“接口R．W．Brockctt于1976年发表了一篇文章旺)，名为。非线性系统及微分几何，文中分析了一个例子．考虑如下的非线性系统(f)=1．(jc)+2)，x(O)=o∈其中。控制1，2可分别取±1或0，于是系统可按=±或=±运动．今设系统逐次按=．)，戈=．f2(x)，=一)，=一A(x)各运动t单位时问，如果初始位置为。，试问运动过程终了后系统是否又回到o．设运动终了I对的位置为(参看图1)，今计算．应用展式(f)=o+t．A(x

4、o)+(等)f,(xo)+口(f’)经计算后可得af2_．=。+(xo．f2(xolJ)+⋯．收稿日期：199卜。O9—25维普资讯http://www.cqvip.com38信息与挖制I99：苹第2l卷笫I静可见在一般情况卜，X同不到。．更的：．’：’。：的项，不是l几帅，J，J是微分几坷中的李括号『1一i3x．一(1)八是系统的·【Ji位，j佯，瓶就与可达集从而与统的能控性联系起来，：是便找到了控刹系统微分几何问的一个“接口，使得微分几何有·I『能作为研究非线性系统的一种上具．图l运动示意．，是『fI】量，进行李括号运算后，．，

5、朗仍然是一个阳．在以后的研究中，天一般非线性系统能控问题的结论，粗略来，是这样的。．考虑系统=．f(x，“)(2)定义，全f．厂(，u)lu=const}(3)即，为当“为常数Il寸一【刀．f(x，“)的集合．i为，所生成的李代数l垒fF}L=f∑，if厂，．厂，⋯，．厂j∈；iII’·．厂；∈．，=1，⋯，z：2<。c)；t<。c)}(4)这里『厂：，厂；，⋯，．厂】=f¨，’【厂：f．厂；，⋯，f．一，．i1I!p[J后向前逐次进行李括号运．称为系统(2)flO~控性李代数．-‘一的所有元岽都是，就是由这些向按上而的定义进行李括

6、号运算后所生成的空问，若此空间的维数为n(n为控制系统(2)n维数)dim=盯。(5)则称能控性李代数满秩．这时系统(2)是存某种定义下能控的(详见f3D．山此可看到系统的能控性与李括号以及李代数问的关系．对手线性系统_’=,4x+∑bfUc，(6)·I’若用上面的方法处理，可得出能控性条件’)，rank[b1，⋯，bm；Ab1，⋯，6；⋯；A一b1，⋯fA一b。】疗这种形式的对于线性系统的能控性条件，是为大家所熟悉的．微分几何方法不仅能用来研究非线性系统的能控、能观性，还可』11来研究系统的解耦、线性化、分解、实现理沦等方而的问题

7、．3流形与映射3．1流形，一个例子如所熟知，对1二线性控制系统维普资讯http://www.cqvip.com张嗣瀛等：微分几何方法与非线性控制系统(1)39=A+Bu(7)在研究它的一些性质时，例如能控、能观性，可应用线性代数的方法，将状态空间分解为一些子空间，如能控子空间，(，B)-不变子空间等．但对于一般非线性系统，就不能如上那样处理了．这是因为系统的动态木质不同了，例如，它不雨如线性系统那样，在状态空间中的某种子空问中描述其运动(比如，在某一线性子空间+2x=0上运动，且只是在此平面上运动时，才能到达原点，这也就是能控子空f

8、H-])，而是在一些子流形上描述其运动，流形是微分几何中的一个基本概念，这里，不想从严格的定义出发介绍流形，而是试图从更直观和感性易于接受的角度，引人流形．考虑下面的例子“两连杆Dd及dp，其中Dd可绕D点转动，dp可绕d点转动．在P