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1、.,.第1卷第24期ol1VNo24信息与控制.,1年月2899IforaiomaCordolnnntnAugt1992微分几何方法与非线性控制系统(4)张嗣流王景才刘晓平,.(东北工学院自控系沈阳Uoo。的7非线性控制系统的几何理论7.1非线性控制系统的几何描述`:定义在R上的一般非线性系统可以用微分方程描述如下一.x,u)(a云~f(7l)夕=h(.x)(7lb)`..,..,xe翌,。e`;y。这里状态控制R输出任’R等式(71)称为状态方程(7lb)称为输出方程.,x“函.hC“为了便于使
2、用微分几何的工具假设f对和都是光滑或解析数同样x()也是.,,·“,“x,或C的这样对于每个给定的常值控制f()就可以看作r上的一个光滑向量场而..la)相应的状态运动轨迹则可以看因此,状态方程(7作是这个向量场的一条积分曲线非线性控制系统就可以用向量场及其他微分几何的工具讨论了.几何方法常常假定非线性系统是定义在微分流形上的.即,状态空间是一个,:维流形M,r,,x,“y,输出空间是一个维流形N输入空间是一个m维流形U及分别是MU及N上的局,而方程(7.la)则认为是这个动态系统在局部坐标下的一
3、个表达式.部坐标.:,把一个非线性控制系统定义在微分流形上主要有两点理由其一这样使我们有可能讨,,;.论更一般的系统如定义在球面环面或定义在李群上的动态系统其二这样推广不但不会增.,加什么困难而且有利于我们使用微分几何工具,几何方法讨论更多的是一种特殊情况的非线性系统,除了一般非线性控制系统外即仿射.n非线性控制系统定义在一个维微分流形M上的一个仿射非线性控制系统在任一局部坐标xg,xu`.下可以表示为云=f()+习()(7Za),,,.ryj~气(x)j“1…(7b2),,,.(x,g`(二i=
4、l;h,x’,,,r其中f)任V(M))任V(M)…m()任C(M)j~l…这类系统的最:它对控制“.,g)大特点是是线性的因此这类系统的动态特性可以完全由向量场fx()和x(..,当然,来描述这为使用微分几何方法提供了十分有利的条件人们对这类系统感兴趣还因为它在力学、物理学以及各类工程问题中大量存在,因此研究它有很大的实际意义.用微分几何方法研究非线性系统的控制问题是近十余年新发展起来的系统理论的一个分..一,一一roeettt`,ussann’’,rener〔’二,支它起源于70年代初期自Bk
5、Sm以及K等人做的开创性和奖基性工作以来,非线性.至目前包括能控性、、控制系统的几何方法得到了迅速发展能观性解、、,.。“〔`〕藕线性化实现等的非线性系统的几何理论已初步形成该理论的应用也已见到成效:1,910506收稿日期一一信息与控翻1,蛇年第21.策`期,本章的目的是以非线性控制系统的线性化及翰入翰出解藕为例简介徽分几何方法是如何.解决非线性控制系统间姗的7.2精确线性化非线性系,.统的线性化是工程技术应用中处理非线性棋型的一种最常用的方法经典的线.:,,性化方法是在平衡点附近作台劳展开然后
6、取线性近似这种线性化的明显缺点是它有误差.,,且误差随使用区域的扩大而加大因此它既不适用于需要控制精度高的系统也不适用于讨论状态远离平衡点的系统的控制.克服台劳展开线性化之不足的有效途径便是采用精确线性.,,化方法随着徽分几何方法在非线性控制系统中的应用精确线性化方法得到了系统地发展,〔`,`.到目前为止〕〔〕非线性控制系统的精确线性化理论已基本形成并得到初步性应用非线性控制系统的精确线性化主要讨论以下三类问题.:,,(1)无反饮线性化一个系统可能实际上是一个线性系统但由于选择的坐标不合适因而.,
7、于是,形式上变成了一个非线性系统这类系统的线性化便是寻找适当的坐标使系统在此坐..,目标下成为线性系统这种线性化问题即为无反该线性化它是线性化间题中最简单的一类,.,:,,:,,,.,。`。,前无反馈线性化间题已基本解决其可解的充要条件是存在…习一使得盛一飞,,,,.a`i=1,,,,、一:,L`〕d坛2…mj=。l…线性无关且对李括号可交换:(2)状态反馈线性化状态反彼线性化与无反馈线性化的不同之处就在于前者考虑了控制,..的作用其实质是寻找一个状态反馈控制和一个微分同胚使得反馈系统变为线性系统
8、.:(3)动态补偿线性化利用动态补偿方法把用状态反馈不能线性化的系统线性化其实质.,,是寻找动态补偿器使得该补偿器同原系统一起可状态反馈线性化此线性化方法较为复杂,,.L’」而且到目前为止此问题还未完全解决只给出一些充分条件,本节的目的是以单箱入无枪出控制系统为例利用微分几何方法探讨状态反馈线性化的条件,从而揭示出徽分几何方法在线性化方面的作用.由于可线性化系统一定存在控制的一个,,〔.〕因此同胚变换使之变为仿射系统我们只讨论单输入仿射控制系统.毖=f(x)+g(x)u(75)可通
