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《微分几何方法与非线性控制系统_2_张嗣瀛》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、.,.期Vol21No2籍鑫肇粉APr一1992微分几何方法与非线性控制系统(2)张嗣流王景才刘晓平(,,东北工学院自控系沈阳110006)4向t场与动态系统.,,,众所周知现代控制理论的研究是在状态空间上使用状态方程但有些动态系统特别是.,,非线性系统其动态演变是在微分流形上进行的演化结果是流形上的一条曲线描述无穷小,,,演化的微分方程是定义在流形上的向量场因此研究流形上的动态系统就要分析流形上的..,向量场流形上向量场的局部坐标表示是r中的微分方程组在状态空间中向量场就是状态..,方程的几何解释应用向量场来研究动态系统的方法就是几何方法4.1切向t与切空间.,
2、,,比设M为m维微分流形某一动态系统其动态演变是在M上进行如一质点在球面上,,,,运动球面可视为二维微分流形我们所关心的不仅是质点的位置还有点的速度向量正是点.,的位置和速度向量才完全描述质点的运动在欧氏空间中速度向量的几何解释是动点运动轨.,,以自迹的切向量或曲线的切线为了研究微分流形上的速度向量我们设想在M的每一点处,,.,然方式关联着一个向量空间称为该点的切空间速度向量或切向量就包含在其上实际上它.,是欧氏空间中光滑曲线或曲面(即微分流形)在每点处切线或切平面这种想法高明之处在于.只,,需用流形本身而没有将M象前面那样再嵌入到相应的欧氏空间中.,既然将流形M
3、的切空间作为曲面切平面的推广有必要分析r中曲线的切线`,x。.,x。“,设夕eR是一向量任R是一定点f是在邻域有定义的C函数沿夕方向的方向导数为。`x(,(,,一yfD客影y.C“x。),x。)(必,应注意的是向量是导数的方向对每一个了e(令了冲fD(这就给出一个映:(。,射D少x)`R直观上看D相当于,a今4./,y二二(1)言了叮.)线性性和(2)乘法法则,y,易证它具有导数的性质(1这样对任何一个向量〔矛就存在一个,,,线性映射D满足线性性和乘法法则;反过来也可证明对任一具有线性性并满足乘法法则的,`,线性映射D都有唯一的向量yeR使得D(f工。)=Df()
4、(,),.,`,于是映射D与向量y建立了对应关系从前面的分析得知y是R中的向量表示函数的导,.即,。)一样,数方向切线方向那么自然会想到正象把导数定义为线性映射fDx(我们把具有:。,,线性性并满足乘法法则的映射Dc一(二),R作为R中向量或说是函数的切线方向是完全..,可以理解的由于微分流形局部与r相同因此可直接应用于微分流形中去i信息与控创,92年绍孙今第z期:,P)今及并具有下面:徽分流形M在户点处的切向量是一映射凡少(汀的性质(i);X,(十)~“(+夕凡(g)线性性以内凡力(2)乘法法则:(f·g)=(g)+,`X,f伽)X,g(P)X(f).,g(,;
5、a其中f任少材p)渭〔R另外(af+内)(P)=af(P)+介(P)··(fg)(P)=f(P)g(P).至,此我们又一次将切向t定义为映射T,,记徽分流形M上在PeM处的全体切向t所构成的集合为(M)并定义如下运算“,,,,,,,,,,a,(欠+盯)(f)=Xa(f)+厂(f)XY任T(M)夕〔R,a户,,P点的切空可以证明凡十尸任T,M即T,M构成一个向t空间将其称为徽分流形材在间.实际,.上它就是欧氏空间曲面在户点的切平面的推广U,,,,,,’设材含户的局部坐标(种坐标函数为(xl…才)立刻会想到切向tX,应和R中.a.,,,,,一样具有形式(41),一四刃
6、弓,=l…,应是基底事实就是这样成了,,:`“,设映射俨,,一R爵…`,,,,,`M,,,,一些f任少爵1爵),,则可证明idmTM=,且基底为·二之.l三}(4.2)’.,alr}声a之1,e,并且任愈X几材可表示为一,,’xX`二,.客爵}(43),.,,x,,,,,,其中X()…X(’x)为墓底(42)的分解系数称切向tX关于局部坐标(UP)的坐标.,,为一常数随墓底的不同而变当明确基底后切向量可简写为一个向量,a’,,a.X~….T〔〕(44),,若任给f任俨(材P)则有一,x,f身剥(4.5)..这正是R中的方向导数4.2对翻向t场与对俱空间.,。:因为
7、几打是一个m维向t空间可以在其上定义线性泛函令.TM,R是实线性泛,,函由泛函分析得知泛函应具有如下形式.。一,(X)=(。凡)(46)··..,,,这里(》表示内积它显然是线性的称泛函。为对偶向量或余切向童T材上的所有对.,,,,a,,,偶向t构成一新的空间记为T二M现定义如下运算设叭叭e;TM夕eR石任乙M令“曰1田.,:,(+刀)(凡)=,(凡)+伽(X).,则T厂M构成线性空间称其为对偶空间或余切空间:张嗣滚等微分几何方法与非线性拴制系统令`,一`一](dx一(.7)乡{;:4护j,,.…dT夕,。,则d犷了构成M的一组基底称为对偶基任给任T宕M在局部坐标
8、下均可表示
