矢量分析期末总结

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1、矢量分析与场论第1章矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。变矢量是矢量分析研究的重要对象。本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。§1.1矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。1、矢函数的概念定义1.1.1设有数性变量和变矢A，如果对于在某个范围内的每一个数值，A都以一个确定的矢量和它对应

2、，则称A为数性变量的矢量函数，记作A=A（1.1.1）并称为矢函数的定义域。在直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A（1.1.2）其中都是变量的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A的起点取在坐标原点。这样当变化时，A的终点就描绘出一条曲线（图1.1），这样的曲线称为矢函数A的矢端曲线，也称为矢函数A的图形。同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。愿点也称为矢端曲线的极。由于终点为的矢量对于原点的矢径为当把A的起点取在坐标原点时

3、，A实际上就成为其终点的矢径，因此的三个坐标就对应地等于其终点的三个坐标，即（1.1.3）此式就是曲线的参数方程。只是模变化而方向不变的矢量，它的矢端曲线是通过记得射线。只改变方向而模不变的矢量，它的矢锻曲线是位于以极为中心模为半径的球面上的某一曲线。2、矢函数的极限和连续性定义1.1.2设矢函数A在点的某个领域内有定义（但在处可以无定义），A为一常矢。若对于任意给定的正数，都存在一个正数，使当满足时，就有

4、A－A

5、<成立，则称A为A当时的极限，记作A=A（1.1.4）矢函数的极限定义与数性函数的极限定义完全类似。因此矢函数也就有类似于数性函数极限的运算法则。如A=·A（1.1.

6、5）[AB]=AB（1.1.6）[A·B]=A·B（1.1.7）[A×B]=A×B（1.1.8）其中为数性函数，A，B为矢函数；且时，，A，B的极限均存在。若设A=i+j+k则由法则（1.1.6）与（1.1.5）有A=i+j+k（1.1.9）即求一个矢函数的极限可以归结为求三个数性函数的极限。定义1.1.3若矢函数A在的某个邻域内有定义，且有A=A（1.1.10）则称A在处连续。即矢函数A在处连续的充分必要条件是它的三个坐标函数都在处连续。若矢函数A在某个区间内的每一点处都连续，则称函数A在该区间内连续。或称A是该区间内的连续函数。§1.2矢函数的导数与微分矢函数的微分法是矢量分

7、析的重要内容，在空间直角坐标系中，一个矢量与三个数量（坐标）构成一一对应关系，因而矢函数也有类似于数性函数的导数，微分概念及运算法则。1、矢函数的导数设有起点在原点的矢函数A，当数性变量在其定义域内从变到时，对应的矢量分别为AA如图1.2.1，则A-A=称为矢函数A的增量，记作A，即A=A-A（1.21.）据此，我们给出矢函数的导数定义。定义1.2.1设矢函数A在点的某一个邻域内有定义，并设也在这邻域内，若A对应于的增量A与之比当时，其极限存在，则称此极限为矢函数A在点处的导数（简称导矢），记作，或，即（1.2.2）若，且函数在点可导，则有即（1.2.3）矢函数的导数计算转化为三

8、个数性函数的导数计算。例1.2.1已知，求导矢。解例1.2.2设证明，及证又所以。容易看出，为一单位矢量，故其矢端曲线为一单位圆，因此又叫圆函数；与之相伴出现的亦为单位矢量，其矢端曲线亦为单位圆，如图1.2.2。2、导矢的几何意义如图1.2.1，设为的矢端曲线，是的割线上的一个矢量。当时，其指向与一致，指向对应值增大的一方；当时，其指向与相反，如图1.2.3，但此时指向对应值减少的一方，从而仍指向对应值增大的一方。当时，由于割线绕点转动，且以点处的切线为其极限位置，此时，割线上矢量的极限位置，也就在此切线上，这就是说，导矢当其不为零时，是在点处的切线上，且方向恒指向对应值增大的一

9、方。因此，导矢在几何上为一矢端曲线的切向量，指向对应值增大的一方。3、矢函数的导数公式设矢函数及数性函数在的某范围内可导，则在该范围内成立下列公式（1）（C为常矢）；（2）；（3）口否认（k为常数）；（4）；（5）；特别，（其中）；（6）；（7）复合函数求导公式：若，则这些公式的证明方法，与微积分中数性函数的类似公式的证法完全相同。例如（6）的证法如下以除上式两端，有再令，求极限可得例1.2.3证明定长矢量与其导矢互相垂直。证假定常数，则有常数两端对求导，得这说明矢量与的数量积等