5函数、方程及其应用

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1、5函数、方程及其应用第三节函数、方程及其应用第一部分五年高考荟萃2009年高考题1.（2009福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是A.B.C.D.答案A解析的零点为x=,的零点为x=1,的零点为x=0,的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)=-1,g()=1,所以g(x)的零点x(0,),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。2.(2009山东卷文)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.　答案解析设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点,就是函

2、数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是.【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答3.(2009山东卷理)（本小题满分12分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，

3、建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。　解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC,,　其中当时，y=0.065,所以k=9　所以y表示成x的函数为（2）,,令得,所以,即,当时,,即

4、所以函数为单调减函数,当时,,即所以函数为单调增函数.所以当时,即当C点到城A的距离为时,函数有最小值.　解法二:（1）同上.（2）设,则,,所以当且仅当即时取"=".　下面证明函数在(0,160)上为减函数,在(160,400)上为增函数.　设04×240×240　9m1m2<9×160×160所以,所以即函数在(0,160)上为减函数.同理,函数在(160,400)上为增函数,设1609×160×160　所以,所以即函

5、数在(160,400)上为增函数.　所以当m=160即时取"=",函数y有最小值,所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.5.(2009湖南卷理)（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。（Ⅰ

6、）试写出关于的函数关系式；（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？解（Ⅰ）设需要新建个桥墩，所以　（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，得，所以=64当0<<64时<0，在区间（0，64）内为减函数；　　当时，>0.在区间（64，640）内为增函数，　　所以在=64处取得最小值，此时，　　故需新建9个桥墩才能使最小。　6.（2009年上海卷理）有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。（1）证明当时，掌握程度的增加量总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,,。当学习某学科知识

7、6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。证明（1）当而当，函数单调递增，且>0........3分故单调递减当，掌握程度的增长量总是下降.................6分（2）由题意可知0.1+15ln=0.85...................9分整理得解得.......13分由此可知，该学科是乙学科.................14分7.（2009上海卷文）（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分.有时可用函数描述学