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1、函数与方程及其应用一、命题方向方程根的个数的判断、利用二分法确定函数的零点所在的区间都可能成为考点,尤其是利用数形结合确定方程根的个数更是重要考点,在填空题、解答题中都可以进行考查，对基本函数的图象熟练掌握即可解决此类问题。函数模型的建立、利用不等式或导数求函数最值都可能成为考点,_般在解答题中进行考查，难度多以屮档题出现。解决此类问题应注意掌握几种常见的函数模型。若涉及分段函数问题，解题时，应注意根据图象信息恰当分类。再者解答应用题要认真审题，理清数量关系，将文字或图形或表格语言转化为数学语言，建立相应的目标函数即可解决此类问题。二、函数与方程1.函数零点的概念对于函数y=f(x),我们把满
2、足f(x)=O的实数x叫做函数y=f(x)的零点，实质上函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也是函数y=f(x)的图彖与x轴的交点的横坐标，它是实数而不是点。方程f(x)=O有实数根o函数y=f(x)图象与x轴有交点o函数y=f(x)有零点2•二次函数的零点对于二次函数y=ax2+bx+c(a#O),其零点个数可根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)根的判别式来确定。A=b2-4acA>0A=0A<0方程ax'+bx+c二O(aHO)根的个数冇两个不想等的实数根冇两个相等的实数根无实数根函数y=ax2+bx+c(a^O)的零点个数有两个零点有一个二重零点无零点函数y=a
3、x2+bx+c(aHO)的图像a>0Y0(/—1■■X0x/、r■Ta<0厂/°霄1t
4、9；•；1函数y=ax2+bx+c(a^O)的图像与x轴的焦点个数有昭个交点有一个交点无交点3.函数零点存在性定理若函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图象是连续曲线,且满足f(a)-f(b)<0,则在区间(a,b)内，函数y=f(x)有零点，即存在cW(a,b),使得f(c)=O,这个c也就是方程f(x)=O的根。注意：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点。4.二分法求函数零点的近似值对于在区间［a,b］上连续不断，Rf(a)・f(b)V0的函数y=f(x),通过不断的把函数f(
5、x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫作二分法。解题技巧1•判断函数零点所在区间(1)解方程(2)利用零点存在性定理判断(3)图像法2•函数零点个数的判断(1)直接求零法，令f(x)=O,求解(2)利用零点存在性定理判断(3)图像法(4)利用函数性质：单调性、周期性等3•函数的零点函数的零点不是点，而是函数y=f(x)的图彖与x轴交点的横坐标，所以零点是一个实数,一个使函数值为0的实数。函数的零点分变号零点和不变号零点两种。变号零点可以用二分法求解，不变号零点一般通过函数图彖判断，如函数y=
6、x-l
7、有一个零点1,它是不变号零点，所以f(a)・
8、f(b)V0是函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点的充分非必要条件。4•方程根的分布求方程的根或根的近似值，就是求函数的零点值或其近似值。将方程根的问题传化为函数的零点问题，不仅直观展现了方程根的几何意义，重要的是能够简化运算程序，提高解决问题的效率。三、函数模型及其应用1.常见的函数模型：(1)-次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数,kHO)(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数，aHO)(3)正比例和反比例函数模型：f(x)=kx(k为常数，kHO)f(x)=—(k为常数，kHO)x⑷指数函数模型：f(x)=abx+c(a,b,c为常数,aHO,b>
9、0,bHl)(5)对数函数模/(x)=mlogax4-w(m,a,n为常数,mHO,a>0,aHl)(6)幕函数模型：f(x)=axn+b(a,n,b为常数,aHO,nHl)1.应用函数模型解决实际问题的一般步骤：(1)阅读题目，理解题意；(2)设置变量，建立函数关系；⑶应用函数知识或数学方法解决问题；(4)检验，作答2.函数与方程的综合应用：数形结合是这种转化的重要依据，把数量关系和几何图形结合起来是函数综合应用借以考查数学综合能力的重要题型.3.函数应用题的解法：解答数学应用题是在阅读文字材料、理解题意的基础上对实际问题进行抽象概括，再转化为数学符号语言，最后进行数学化处理的过例题：1•函
10、数/(x)=log3x+x-2的零点所在区间为()A.(0,l)B.(l,2)C.(2,3)D.(3,4)2•设Xi，X2，X3依次是方程log,x+2=x,log2(x+2)=,2x+x=2的实数根，则2X2,X3的大小关系为3•已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，JlaHO)满足条件：f(x・l)二f(3・x)£L方程f(x)二2x有等根。(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在
