【力学教案】 第6章 组合变形强度计算1

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1、第6章组合变形强度计算6.1组合变形与弹性叠加原理6.1.1组合变形的概念在工程实际中，有许多杆件在外力作用下会产生两种或两种以上的基本变形，这种情况称为组合变形。如图6-1（a）所示小型压力机的框架。为分析框架立柱的变形，将外力向立柱的轴线简化（图6-1b），便可看出，立柱承受了由F引起的拉伸和由引起的弯曲。图6-16.1.2弹性叠加原理弹性叠加原理也称为线性叠加原理。该原理对于求解弹性力学问题极为有用，它使我们可以把一个复杂问题化为两个或多个简单问题来处理。在分析组合变形时，可先将外力进行简化或分解，把构件上的外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组载

2、荷对应着一种基本变形。例如，在行面对例子中，把外力转化为对应着轴向拉伸的F和对应着弯曲的M。这样，可分别计算每一基本变形各自引起的应力、内力、和位移，然后将所得结果叠加，便是构件在组合变形下的应力、内力、应变和位移，这就是叠加原理。现在再作一些更广泛的阐述。设构件某点的位移与载荷的关系是线性的，例如，在简支梁的跨度中点作用集中力F时，右端支座截面的转角为这里转角与载荷F的关系是线性的。是一个系数，只要明确F垂直于轴线且作用于跨度中点，则这一系数与F的大小无关。类似的线性关系还可举出很多，可综合为，构件A点因载荷引起的位移与的关系是线性的，即(a)这里是一个

3、系数，在的作用点和方向给定后，与的大小无关，亦即不是的函数。同理，A点因另一载荷引起的位移为（b）系数也不是的函数。若在构件上先作用，然后再作用。因为在未受力时开始作用，这与（a）式所表示的情况相同，所以A点的位移为。在作用时，因构件上已存在，它与（b）式所代表的情况不同，所以暂时用一个带撇的系数代替，得A点的位移为。这样，当先作用后作用时，A点的位移为（c）式中的系数也应该与和的大小无关，即不是或函数。因为如果与和有关，则与相乘后的就不再是线性的。这与力与位移是线性的关系的前提相矛盾。现在从构件上先解除，这时设A点的位移为。这里的负号表示卸载，上的一撇也

4、是为了区别于。但也与和无关。解除后，构件上只有，如再解除，就相当于（b）式代表的情况的卸载过程，所以A点位移应为。和都解除后，构件上无任何外力，是它的自然状态，位移应等于零。于是或者写成根据上面的论述，式中两个系数都不是载荷的函数，而且和为任意值时，上式都应该得到满足。这就只有两个系数都等于零，才有可能，即于是（c）式化为比较（a），（b）和（d）三式，可见，和共同作用下的位移，等于和分别单独作用时位移的叠加。如果点到上述加力次序，先加后加，用完全相似的方法，必须仍可得到（d）式。这表明位移与加力的次序无关。以上结论可以推广到外力多于两个的情况，也可推广到

5、应变、应力、内力与外力成线性关系的情况。可见，叠加院里的成立，要求位移、应力、应变和内力等与外力成线性关系。当不能保证上述线性关系时，叠加原理不能使用。叠加原理只适用于小变形，即线弹性条件，因为基本方程和边界条件均是在小变形条件下得到的。此外，对于细长构件的弹性稳定性问题，梁的纵向及横向受力问题及弹塑性问题，叠加原理都不能适用。6.2应力状态分析6.2.1二向应力状态的解析法工程上，一般构件的受力部比较复杂，因此，在构件的某一点处所取得已知单元体方向的应力通常不是最大的应力方向。下面来讨论二向应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力后，如何确定通过这一点

6、的其他截面上的应力，从而确定主应力和主平面。从受力构件上截取一单元体。其一对侧面上应力为零，而另两对侧面上分别作用有应力如图6-7(a)所示，这类单元体是二问应力状态的一般情况。图6-7(b)为单元体的正投影。这里和是法线与轴平行的面上的正应力和切应力；和是法线与轴平行的面上的应力。.切应力（或），下角标（或）表示切应力作用平面的法线的方向；应力的正负号规定为：正应力以拉应力为正，而压应力为负；切应力对单元体内任意点的矩为顺时针转向时为正，反之为负。按照以上规定，在图6-7(a)中，和皆为正，而为负。假想取任一与平面垂直的斜截面，如图6-7(b)，其外法线

7、与轴的夹角为。规定由轴逆时针转向外法线时，为正，反之为负。以截面把单元体截开，取左半部分为研究对象，如图6-7(c)。斜截面上的正应力为，切应力为，。设面的面积为，则面和面的面积分别是和,把作用于部分上的力投影于面的外法线和切线的方向，列静力平衡方程，得由切应力互等定理有代入以上平衡方程，整理（6-1）（6-2）可见，斜截面上的正应力和切应力都是角的函数。这样，在二向应力状态下，只要知道一对互相垂直面上的应力和，就可以依式(6-1)、式(6-2)求出为任意值时的斜截而上的应力和。下面来推导主应力和确定主平面的角度的公式。将式(6-1)对导数得（a）令此导数

8、等于零，可求得达到极值时的值，用来表示，有(b)化简后得(6-3)