【力学教案】 第7章 组合变形杆的强度

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1、141第七章组合变形杆的强度第七章组合变形杆的强度在工程实际中，构件在外力的作用下常常发生两种或两种以上的基本变形。图7.1所示的机架立柱在外力F的作用下将同时产生轴向拉伸和弯曲变形；图7.2所示的传动轴在皮带张力、和力偶矩的作用下将同时产生弯曲和扭转变形。构件同时产生两种或两种以上基本变形的情况称为组合变形。对于组合变形下的构件，在线弹性、小变形条件下，可先将构件上的外载分解成产生基本变形的简单载荷，分别计算每种基本变形对应的应力、应变和位移，然后利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况，确定构件的的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态

2、，并据此进行强度分析。图7.1图7.27.1弯曲与拉伸（压缩）的组合截面核心弯曲与拉伸（压缩）的组合变形是工程中常见的情况。例如起重吊车的横梁、台钻与压力机的立柱等。这种组合变形又分为两种情况，一种是既有横向力又有轴向力作用下的拉（压）弯组合变形；另一种是由偏心拉（压）引起的组合变形。一、横向力与轴向力同时作用时的拉（压）弯组合变形考虑图7.3a所示的矩形截面杆。杆件在自由端受轴力和纵向对称面内的横力的共同作用。轴向力使杆产生轴向拉伸变形，各横截面的轴力相同，即。由引起的横截面上的正应力均匀分布（图7.3b）；横力使杆发生平面弯曲变形，距左端x

3、的横截面上的弯矩，由此引起的弯曲正应力分布如图7.3c。所以该横截面上任一点的正应力为两者的代数和（图7.3d）141第七章组合变形杆的强度（7-1a）固定端面为危险截面，其内力有轴力，弯矩。截面上边缘各点和下边缘各点分别有最大拉应力和最大压应力，且都处于单向应力状态，其强度条件为（7-1b）若与xy平面垂直的xz平面内也作用有弯矩（图7.3e），则横截面上任一点的正应力为（7-1c）图7.3例7.1简易起重机如图，AB横梁为工字钢，若最大吊重10kN，材料的许用应力为100MPa。试选择工字钢的型号。解：取横梁AB为研究对象，如图b所示。由，

4、得作AB横梁的轴力图和弯矩图（图c、d），所以危险截面是C的左邻面，其上的内力为：轴力26kN（压），弯矩10kN·m。由于钢是拉压等强度材料，因此危险点为截面的下边缘各点，强度条件为上式中的各量均取其数值。选择工字钢型号时，可先不考虑轴力的影响进行初选。即141第七章组合变形杆的强度查附录B的工字钢型钢表，应选№14工字钢，有初选后进行强度校核（强度不够）重选№16工字钢，其，，代入强度条件所以应选№16工字钢。例7.1图二、偏心拉伸与压缩图7.4a所示顶端受偏心压力的矩形截面短柱。设y、z轴为横截面的对称轴，短柱的轴线为x轴。压力F平行于x

5、轴，其作用点A点的坐标为。将压力F向截面形心简化，得到一轴向压力F、xy平面内的力偶矩和xz平面内的力偶矩。任意横截面（图b）上的内力有轴力（压）、弯矩和。横截面内任一点的正应力为141第七章组合变形杆的强度（7-2）式中分别是横截面对z轴和y轴的惯性半径。如果令上式为零，可得到中性轴的方程为（7-3）其中为中性轴上各点坐标。它是一条不过原点的斜直线（图7.4b），在y、z轴上的截距分别为（7-4）图7.4如图7.4b所示，中性轴将截面分成两部分。阴影部分是拉应力区；另一部分是压应力区。最大拉应力和最大压应力发生在离中性轴最远的B点和D点。显然

6、，外力的偏心距（）越大，中性轴离截面形心越近。若让中性轴位于截面边缘并与之相切，比如相切于截面的B点时（图7.4b），整个横截面上将只有压应力而无拉应力。因此，如要使横截面上只存在压应力，必须对偏心压力作用点位置（）加以限制，使其落在截面形心附近的某一范围，此范围称为截面核心，因为工程结构中的一些承压杆件多由脆性材料（砖、混凝土等）制成，其抗压强度远大于抗拉强度，为避免在横截面上出现拉应力，必须使外压力F作用在截面核心之内。例7.2图示矩形截面杆受轴向拉力12kN，材料的许用应力[s]=100MPa。求切口的容许深度x。已知。解：切口处1-1截

7、面为危险截面，其内力有轴力，弯矩。在截面的下边缘各点，有最大拉应力141第七章组合变形杆的强度其中由强度条件，得例7.2图将，12kN，=100MPa代入上式后经整理得到解之（舍去）和所以切口的容许深度为5.21mm。例7.3试求图中所示边长为b和h矩形截面的截面核心，解：y，z两对称轴为截面的形心主惯性轴。先将与AB边相切的直线①看作是中性轴，其在y，z两轴上的截距分别为，将矩形截面的，，及以上各值代入到式（7-3），就可以得到与中性轴①对应的截面核心边界上点1的坐标为，同理，分别将与BC，CD和DA边相切的直线②，③，④看作是中性轴，可求得

8、对应的截面核心边界上点2，3，4的坐标依次为这样，就得到了截面核心边界上的4个点。当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到其邻边时，例如当中性轴绕顶