有限域上的射影平面

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1、有限域上的射影平面有限域上的射影平面史逸(南京师范大学数学与计算机科学学院2004级1班)摘要：定义有限射影平面，利用射影几何与群论的方法推导有限射影平面上的一系列性质,并由此证明存在任意阶的多项式方程在Zp上无解。关键词：有限域；射影平面；射影变换；群在定义射影平面时，我们约定点与直线为一对无定义的基本元素，在点的集合与直线的集合之间有一个关系称为关联关系。对所谓的关联关系，给出如下约定：约定1.1.当点P与直线l有关联关系时，下列说法等价：点P与直线l相关联；直线l与点P相关联；点P在直线l上。直线l通过点P

2、。2.当点P与直线l没有关联关系时，下列说法等价：点P与直线l不关联；直线l与点P不关联；点P不在直线l上。直线l不通过点P。定义1.设集合π为两个不交的非空集合P与L的并集。P的元素称为π的点。L的元素称为π的直线。而且，在点与直线之间有一个关系称为关联关系，满足下述公理：公理P存在一对双射φ：P→FP²，ψ：L→（FP²）*，对于任意的P∈P和任意的l∈L，若φ（P）=x，ψ（l）=u，则点P与直线l相关联←→u1x1+u2x2+u3x3=0，这里F为Zp。称π为一以P为点集，L为直线集的一个有限域F上的射影

3、平面或称为有限域F上的二维射影空间，简称有限射影平面，记作π=（P，L）。满足公理P的一对双射（φ，ψ）称为有限域F上的射影平面上的一个射影坐标映射，并分别称φ和ψ为点坐标映射和线坐标映射，点和直线的坐标映射像分别称为点和直线的坐标。对于固定的有限域F，任意有限射影平面都同构与有限域F上的射影平面的算术模型，即πF=（FP²，（FP²）*），则任意两有限域F上的射影平面都相互同构，下面我们就以πF=（FP²，（FP²）*）为具体模型阐述有限域F上的射影平面的性质。我们约定F为整数集Z模p（p为素数）同余类所生成的

4、有限域Zp，射影平面为πF5有限域上的射影平面=（FP²，（FP²）*）。在这一射影平面中，P=FP²，L=（FP²）*，点x与直线u相关联当且仅当u1x1+u2x2+u3x3=0。在πF上有一个自然的射影坐标映射（α，β），其中α：FP²→FP²；β：（FP²）*→（FP²）*均为恒同映射。很明显有限射影平面可以视为将RP²中的实数域R改为有限域F，得到域F上的三元非零向量类的集合FP²，由于仅仅是数域的变化，实射影平面上的一系列性质都可以移植到有限射影平面上。由公理P，显然有下述定理成立：定理1.在射影平面上

5、，方程u1x1+u2x2+u3x3=0表示直线或点。当把xi作为流动变量而ui作为常数时上式表示直线[u1，u2，u3]；反之，表示点（x1，x2，x3）。由于在有限射影平面上点与直线的等价性，我们立即得到对偶原则：定理2.在有限射影平面上，射影命题A成立当且仅当其对偶命题PA成立。有限射影平面π上的所有点都可以唯一的由坐标表示为：（0，1，0）或（1，λ，0）或（λ，μ，1）λ，μ∈F其中（0，1，0）或（1，λ，0）称为无穷远点，（λ，μ，1）为有穷远点。则在F中，（1，λ，0）的λ共p种取法，即π上共p+1

6、个无穷远点；（λ，μ，1）上的λ和μ共有p²种不同取法，则在有限射影平面π上共p²+p+1个点。对偶的，π上共有p²+p+1条直线。对于任意一条直线l：u1x1+u2x2+u3x3=0上的点取x3=0可以唯一的确定一个无穷远点（u2，-u1，0）在l上，取定x3=1则x1可取p个不同的值及其相对应的，则在l上有p个有穷远点，共p+1个点。对偶的，在过一固定的点的线束中，共有p+1条直线。我们以Z3上的有限射影平面为例，在下表中列出所有的点与直线即其关联关系。在下表中，点与直线相关联的我们用〝+〞表示，不相关联的用

7、〝-〞表示。点坐标直线坐标0101001101200011012010111112110211212210,1,0-+--+++------1,0,0+---+--+--+--1,1,0---++----+-+-1,2,0--+-+---+---+0,0,1++++---------1,0,1+-----+--+--+2,0,1+----+--+--+-0,1,1-+--------+++1,1,1---+--+-+-+--2,1,1--+--+---++--0,2,1-+-----+++---1,2,1--+-

8、--++---+-2,2,1---+-+-+----+对应于实射影平面，我们也可以定义直线中四点的交比：5有限域上的射影平面定义2.设A，B，C，D为直线l上的四点，且A≠B，其齐次坐标分别为a，b，a+λb，a+μb。记（AB，CD）表示由这四点构成的一个交比，定义为（AB，CD）=λ/μ称A，B为基点对，C，D为分点对。在实射影平面中交比的一系列性质在有限射影平面中亦