圆系方程及其应用2012.10.11

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1、圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：1．以为圆心的同心圆系方程：　与圆同心的圆系方程为：2．过直线与圆交点的圆系方程为：（1）当直线与圆交于两点时，圆系中的所有圆是以为公共弦的一系列相交圆，其圆心在公共弦的垂直平分线上；（2）当直线与圆切于点时，这时圆系的圆心，而直线的法向量，∴，∴∥因此，，且直线为圆的过点的切线．又∵（过切点的半径与切线垂直），∴与重合．由此可知，圆系中的所有圆（除圆外）与圆内切或外切于点，直线是它们的公切线，圆心都在直线上．3．过两圆与交点的圆系方程为：．可知，圆心,因此，点共线，即圆系的所有圆的圆心都

2、在已知两圆的连心线上．（1）当圆与圆相交于两点时，则（即连心线与公共弦垂直），且弦为所有圆的公共弦；（2）当圆与圆内切或外切于点时，则在过切点的连心线上，圆系的所有圆都与已知的圆及圆在点处内切或外切．注意：（1）此圆系不含圆；（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:（3）特别地，当时，上述方程称为根轴方程．根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．①当两已知圆与圆于两点时，方程表示公共弦所在直线的方程；②当圆与圆内切或外切于点时，方程表示过（内或

3、外）公切点的公切线方程．这时，除点外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．二．圆系方程在解题中的应用例1．求经过两圆和交点和坐标原点的圆的方程．解：设所求圆的方程为：　　∵点在所求的圆上，将代入，得，解得故所求的圆的方程为：即　＋7＋＝０。例2．求与圆切于点，且过点的圆的方程．解一：视点为点圆，构造圆系代入点，可得，∴所求的圆的方程为解二：过点的已知圆的切线方程为，与已知圆构造圆系代入点，可得，∴所求的圆的方程为例3.求经过直线与圆Ｃ：的交点且面积最小的圆的方程．解一：设圆的方程为，即，则，∴当时，最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程

4、为：.解二：设圆的方程为，即，依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上，即，解得将代回圆系方程得，所求圆方程为作业：1.求与圆切于点，且过点的圆的方程．2.求过两圆和的交点，且与直线相切的圆的方程．3.圆系中，任意两个圆的位置关系如何？圆系方程及其应用（教师用）一．常见的圆系方程有如下几种：1．以为圆心的同心圆系方程：　与圆同心的圆系方程为：2．过直线与圆交点的圆系方程为：（1）当直线与圆交于两点时，圆系中的所有圆是以为公共弦的一系列相交圆，其圆心在公共弦的垂直平分线上；（2

5、）当直线与圆切于点时，这时圆系的圆心，而直线的法向量，∴，∴∥因此，，且直线为圆的过点的切线．又∵（过切点的半径与切线垂直），∴与重合．由此可知，圆系中的所有圆（除圆外）与圆内切或外切于点，直线是它们的公切线，圆心都在直线上．3．过两圆与交点的圆系方程为：．可知，圆心,因此，点共线，即圆系的所有圆的圆心都在已知两圆的连心线上．（1）当圆与圆相交于两点时，则（即连心线与公共弦垂直），且弦为所有圆的公共弦；（2）当圆与圆内切或外切于点时，则在过切点的连心线上，圆系的所有圆都与已知的圆及圆在点处内切或外切．注意：（1）此圆系不含圆；（2）为

6、了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:（3）特别地，当时，上述方程称为根轴方程．根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．①当两已知圆与圆于两点时，方程表示公共弦所在直线的方程；②当圆与圆内切或外切于点时，方程表示过（内或外）公切点的公切线方程．这时，除点外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．二、圆系方程在解题中的应用：例1．求经过两圆和交点和坐标原点的圆的方程．解：设所求圆的方程为：　　∵点在所求的圆上，∴　有－2＋＝０．　从而＝２故所求的圆的方程为

7、：即　＋7＋＝０。例2．求与圆切于点，且过点的圆的方程．解一：视点为点圆，构造圆系代入点，可得，∴所求的圆的方程为解二：过点的已知圆的切线方程为，与已知圆构造圆系代入点，可得，∴所求的圆的方程为例3.求经过直线与圆Ｃ：的交点且面积最小的圆的方程．解一：设圆的方程为，即，则，∴当时，最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：.解二：设圆的方程为，即，依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上，即，解得将代回圆系方程，得所求的圆方程为练习：1.求与圆切于点，且过点的圆的方程．解：设

8、所求的圆方程为∵圆过点，将代入，得，解得，将代回圆系方程，得所求的圆方程为2.求过两圆和的交点，且与直线相切的圆的方程．解：设所求的圆的方程为，即圆心，半径圆心到直线的距离∵所求圆与直线相切，∴，即∴所求的圆的方程为，即