圆系方程的应用.pdf

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1、４２上海中学数学·２０１０年第１０期圆系方程的应用２０１４１１上海市奉城高级中学徐劲在高二年级的数学拓展课上，当讲到圆这分析：这是一道入门级的例题，教材中讲一节内容时，笔者曾经非常犹豫要不要将圆系授的一般方法是先求出圆与直线的交点，然方程介绍给同学们．由于现行高中教材中，除了后找出新圆的圆心与半径．而利用圆系方程直线系方程有少量介绍外，并未涉及圆系方程思想则立足对λ的研究，稍微提高了思维基的相关内容，而圆系方程的思想对同学们的思点，却大大降低了计算的复杂度，学生更有兴维能力而言确实具有相当的挑战性．笔者经

2、过趣和信心．例３已知直线ｌ：ｘ＋２ｙ－３＝０交圆Ｃ：ｘ２比较深入系统的研究后，挑选出圆系方程中与２课本及考纲结合比较紧密，高于教材却又优于＋ｙ＋ｘ－６ｙ＋ｍ＝０于点Ｐ、Ｑ，Ｏ为原点，试问教材的一部分内容给同学们作了介绍，取得了当ｍ为何值时ＯＰ⊥ＯＱ？非常理想的教学效果．解：由ＯＰ⊥ＯＱ可设以ＰＱ为直径且过原点的Ｏ的新圆方程为ｘ２２圆系方程思想是曲线系思想的一个重要组＋ｙ＋ｘ－６ｙ＋ｍ＋λ（ｘ２２成部分，基本原理是这样的：令Ｆ（ｘ，ｙ）＝０是圆＋２ｙ－３）＝０（λ∈Ｒ）．整理得ｘ＋ｙ＋（１＋λ）ｘＡ的方程，

3、Ｇ（ｘ，ｙ）＝０是圆Ｂ（或直线ｌ）的方－（６－２λ）ｙ＋ｍ－３λ＝０．程，那么Ｆ（ｘ，ｙ）＋λ（Ｇ（ｘ，ｙ）＝０就是过圆Ａ与此圆圆心坐标为（－１＋λ，３－λ），由圆心在２圆Ｂ（或直线ｌ）的交点（或切点）的任意圆（不含直径ＰＱ所在的直线ｌ上，且由新圆过原点可知圆Ｂ）的方程．１＋λ应用１：两圆公共弦或公切线方程烄－＋２（３－λ）－３＝０常数项为０，故得２，即例１求圆ｘ２２２烅＋ｙ－２ｘ－４ｙ－４＝０与圆ｘ２烆ｍ－３λ＝０＋ｙ＋３ｘ－２ｙ－２＝０的两圆公共弦所在的直线ｍ＝３，λ＝１，故当ｍ＝３时ＯＰ⊥ＯＱ．方程

4、．分析：仅从表面上看，本题结论貌似与圆系解：由题意，得ｘ２２２＋ｙ－２ｘ－４ｙ－４＋λ（ｘ方程无关，普通解题方法利用向量垂直的性质２＋ｙ＋３ｘ－２ｙ－２）＝０（λ∈Ｒ）．当λ＝－１时，即可以解出，但方法稍嫌笨拙．然而就ＯＰ⊥ＯＱ这得５ｘ＋２ｙ＋２＝０就是两圆公共弦所在的直线个题设而言，可以理解为存在一个以ＰＱ为直方程．径且过原点的Ｏ的新圆，而Ｐ、Ｑ两点正是直线分析：从圆系方程的观点来看，对于过两圆ｌ与圆Ｃ的交点．问题就此解决．交点的任意曲线方程Ｆ（ｘ，ｙ）＋λＧ（ｘ，ｙ）＝０而２２例３变式：已知圆Ｃ：ｘ＋

5、ｙ－２ｘ＋４ｙ－４＝言，当λ＝－１时，方程即是过两圆交点的直线０，问是否存在斜率为１的直线ｌ，使ｌ被圆Ｃ截方程．两圆相切时，两圆过切点的公切线方程同得的弦ＡＢ为直径的圆经过原点，若存在，写出样可以用这个方法求出．直线ｌ的方程，若不存在，试说明理由．应用２：圆与直线相交（切）解：由题意可设直线ｌ的方程为ｙ＝ｘ＋ｍ２２例２一圆过圆ｘ＋ｙ－２ｘ＝０与直线ｘ（ｍ∈Ｒ），则新圆方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋４ｙ－４＋λ＋２ｙ－３＝０的交点，且圆心在ｙ轴上，求这个圆（ｘ－ｙ＋ｍ）＝０（λ∈Ｒ．整理得ｘ２＋ｙ２＋（λ－２）ｘ

6、的方程．＋（４－λ）ｙ－４＋λｍ＝０．解：令所求圆的方程为ｘ２２＋ｙ－２ｘ＋λ（ｘ＋λ－２４－λ得新圆圆心为（－，－），该圆心在２２２ｙ－３）＝０（λ∈Ｒ）．整理得ｘ＋ｙ＋（λ－２）ｘ＋２２２λｙ－３λ＝０．①直径ＡＢ所在直线ｌ上，且新圆过原点，则有此圆圆心坐标为（－λ－２，－λ），而且圆心烄－λ－２＋４－λ＋ｍ＝０２２２，得ｍ＝－４或ｍ＝１．烅λ－２烆－４＋λｍ＝０在ｙ轴上，则－＝０，即λ＝２，代入①，得所２所以直线ｌ的方程为ｘ－ｙ－４＝０或ｘ－ｙ求圆的方程为ｘ２２＋ｙ＋４ｙ－６＝０．＋１＝０．上海中学

7、数学·２０１０年第１０期４３数学转化的思想方法２０００８１上海市北郊高级中学曾盛数学转化思想是“把问题元素从一种形式关键是如何将ｘ，ｙ表示出向另一种形式转化的能力”．就解题的本质而来，如果过点Ｃ作ＣＤ∥ＯＢ言，解题既意味着转化，既把生疏问题转化为熟交ＯＡ于点Ｄ，如图２，则ｘ＝习问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问｜ＯＤ｜，ｙ＝｜ＤＣ｜，设∠ＡＯＣ＝题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问α（０°≤α≤１２０°），∠ＯＤＣ＝图２题，把高次问题转化为底次问题；把未知条件转６０°，∠ＯＣＤ＝１２０°－α，在

8、化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基｜ＣＤ｜｜ＯＤ｜△ＯＤＣ中，由正弦定理的＝本问题，把顺向思维转化为逆向思维因此学生ｓｉｎαｓｉｎ（１２０°－α）学会数学转移，有利于实现学习迁移，特别是原１，所以ｙ＝｜ＣＤ｜＝２２＝ｓｉｎα，ｘ＝｜ＯＤ｜＝ｓｉｎ理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质槡３槡３槡３量和数学能力．２１１．借助函数进行转化（１２０°－α）＝ｃｏｓα＋ｓｉｎα，所以ｘ＋ｙ＝ｃｏｓα＋有些数学问题，本身并无明显的