直线系和圆系公式及其应用

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1、直线系和圆系相关公式推导和例题如何推导出过两直线交点的直线系方程假设直线1与2的交点为（x1,x2）则直线1可化为（x-x1）/B1=(y-y1)/A1,直线2可化为：（x-x1）/B2=(y-y1)/A2那么B1/(x-x1)=A1/(y-y1),.......1B2/(x-x1)=A2/(y-y1).......22式左右两边各乘以N得NB2/(x-x1)=NA2/(y-y1).......32式+3式（左右两边），得B1/(x-x1)+NB2/(x-x1）=A1/(y-y1)+NA2/(y-y1)，整

2、理得(B1+NB2)/(x-x1）=(A1+NA2)/(y-y1),整理得：A1x+B1y+C1+N（A2X+B2Y+C2）=0有谁能推导过直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F的交点的圆系方程?x²+y²+Dx+Ey+F+m(ax+by+c)=0设P(x0,,y0,)是直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的的任意一个交点则Ax0+By0+C=0与圆x0²+y0²+Dx0+Ey0+F=0从而x0²+y0²+Dx0+Ey0+F+m(Ax0+By0+C)=0即p是方程Cx0²+

3、y0²+Dx0+Ey0+F+m(Ax0+By0+C)=0表示的曲线C上的点，由于任意一个交点在曲线C上，所以，所有交点都在曲线C上即曲线C经过直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的所有交点，或经过直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为：x²+y²+Dx+Ey+F+m(ax+by+c)=0解：点P（x1,y1）圆心为O（a,b）则（x1-a）²+(y1-b)²=r²直线OP的斜率为：k（OP）=(y1-b)/（x1-a）切线的斜率为：k=1/k（OP)=

4、（x1-a）/(y1-b)切线方程为：y-y1=(x1-a）/(y1-b)×(x-x1)(y-y1)(y1-b)-(x1-a）(x-x1)=0[(y-b)+(b-y1)](y1-b)-[(x-a)+(a-x1)](x1-a)=0(y-b)(y1-b)-(y1-b)²+(x-a)(x1-a)-（x1-a）²=0(y-b)(y1-b)+(x-a)(x1-a)=（x1-a）²+(y1-b)²即：(y-b)(y1-b)+(x-a)(x1-a)=r²故证过圆(x-a)²+(y-b)²=r²上点P(x0,y0)的切线方

5、程为(x0-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r²过圆x²+y²+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,,y0,)的切线方程为x0x+y0y+D[(X+X0)/2]+E[(Y0+Y)]+F=0过圆外一点P(x0,y0)圆的切线切线长为√[(x0-a)²+(y0-y)²-r²}或√（x0²+y0²+Dx0+Ey0+F)问题补充：过圆x²+y²+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y+D[(X+X0)/2]+E[(Y0+Y)/2]+F=0过两相交圆得交点的直线方程公式证明过两圆交点

6、的圆系方程已知圆A：x²+y²+D1x+E1y+F1=0与圆B：x²+y²+D2x+E2y+F2=0，方程：x²+y²+D1x+E1y+F1+λ(x²+y²+D2x+E2y+F2)=0……①,当λ≠-1时，方程①表示过圆A与圆B的交点的圆系的方程，当λ=0时，表示圆A，但不能表示圆B；当λ=-1时，若圆A与圆B相交，方程①表示圆A与圆B的公共弦所在的直线方程，当圆A与圆B相切时，方程①表示圆A与圆B的公切线方程，当两圆相离时，方程①表示与两圆连心线垂直的方程，在解圆的有关问题，常常用到这一结论，可以起到事半

7、功倍的效果。