直线系方程及其巧妙应用.doc

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1、直线系方程及其巧妙应用江苏韩文美　　1．命题的给出　　命题：设点在直线（其中不全为零）上，则这条直线的方程可以写成．　　这一结论的证明比较简单，但值得我们注意的是直线表示的是过点的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．　　2．命题的应用　　（1）斜率问题的应用　　在求过圆外一点的圆的切线方程，或直线与圆锥曲线的位置关系及两直线的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论．而应用直线系方程，可以避免对斜率的讨论，确保求解的完整性和正确性．　　例１　过点作圆的

2、切线l，求切线l的方程．　　解：设所求直线l的方程为（其中不全为零），　　则整理有，　∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离等于半径1，故，　　整理，得，即（这时），或．　　故所求直线l的方程为或．　　（2）截距问题的应用　　当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的倍（）”等条件时，采用截距式就会漏掉“零截距”的情况，从而丢解．而应用直线系方程，可以避免对直线的截距的分类讨论，确保求解的完整性和正确性．　　例2　求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．　　解：设所求直线方程为（其中不全为零）．　　显然

3、，当或时，所得直线方程不满足题意．故均不为零．　　当时，；当时，．　　根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，　　则，　　令，则，　　整理，得，解得，或，　　则，或，　　故所求直线方程为，或．　　编者的话：利用过点的直线系方程（其中不全为零）确定直线方程，弥补了直线方程中几种常见的特殊直线方程形式的限制条件的不足，避免了分类讨论，解法具有通用性和简洁性．下面我们用这个方法来做两道相关的题目．　　练习：1．求过原点且与直线成30°角的直线方程l．　　2．在过点的所有直线中，求到原点的距离最远的直线方程．　　答案：1．，或　　2．．