10考研高等数学强化讲义(第五章)全

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1、第五章向量代数与空间解析几何§5.1向量代数（甲）内容要点一、空间直角坐标系二、向量概念坐标模方向角方向余弦三、向量运算设1．加（减）法122．数乘3．数量积（点乘）（i）定义（ii）坐标公式（iii）重要应用4．向量积（叉乘）（i）定义与和皆垂直，且构成右手系（ii）坐标公式（iii）重要应用共线5．混合积（i）定义（ii）坐标公式（iii）表示以为棱的平行六面体的体积口诀（36）：点乘为零判垂直；叉乘为零是平行；混合积为零共面；体积就加绝对值。（乙）典型例题例1．点到过的直线之间的距离例2．点到所在平面的距离12因为四面体的体积而又例3

2、．过点与过点的异面直线之间的距离因为§5.2平面与直线（甲）内容要点一、空间解析几何1．空间解析几何研究的基本问题。（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程，12（2）已知坐标和间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。2．距离公式空间两点与间的距离为3．定比分点公式是的分点：，点的坐标为，，则当为中点时，二、平面及其方程1．法（线）向量，法（线）方向数。与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成。法向量的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。2．点法式

3、方程已知平面过点，其法向量，则平面的方程为或其中3．一般式方程其中不全为零。前的系数表示的法线方向数，是的法向量特别情形：，表示通过原点的平面。，平行于轴的平面。，平行平面的平面。12表示平面。4．三点式方程设，，三点不在一条直线上。则通过的平面方程为5．平面束设直线的一般式方程为，则通过的所有平面方程为，其中6．有关平面的问题两平面为法向量与间夹角（就是与之间夹角）（即）垂直条件平行条件重合条件7．设平面的方程为，而点为平面外的一点，则到平面的距离：12三、直线及其方程1．方向向量、方向数与直线平行的非零向量，称为直线的方向向量。方向向量

4、的坐标称为方向数。2．直线的标准方程（对称式方程）。其中为直线上的点，为直线的方向数。3．参数式方程：4．两点式设，为不同的两点，则通过和的直线方程为5．一般式方程（作为两平面的交线）：6．有关直线的问题两直线为方向向量与间夹角（就是与之间夹角）（即）垂直条件12平行条件四、平面与直线相互关系平面的方程为：法向量直线的方程为：方向向量与间夹角（）与垂直条件与平行条件与重合条件上有一点在上（乙）典型例题例1．求通过和直线的平面方程。解：通过的所有平面的方程为其中为任意实数，且不同时为。今把代入上面形式的方程得12由于方程允许乘或除一个不为的常

5、数，故取，得，代入方程得即它就是既通过点又通过直线的平面方程。例2．求过直线且切于球面的平面解：过所给直线除平面外的其它所有平面方程为即（*）球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径于是得代入（*）得两个所求的平面§5.3曲面与空间曲线（甲）内容要点一、曲面方程1．一般方程2．参数方程（平面区域）二、空间曲线方程121．一般方程2．参数方程三、常见的曲面方程1．球面方程设是球心，是半径，是球面上任意一点，则，即。2．旋转曲面的方程（i）设是平面上一条曲线，其方程是绕轴旋转得到旋转曲面，设是旋转面上任一点，由点旋转而来（点是圆心）。由，得

6、旋转面方程是；（ii）求空间曲线绕轴一周得旋转曲面的方程第一步：从上面联立方程解出，第二步：旋转曲面方程为绕轴一周或绕轴一周的旋转曲面方程类似地处理3．二次曲面12曲面名称方程曲面名称方程椭球面旋转抛物面椭圆抛物面双曲抛物面单叶双曲面双叶双曲面二次锥面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四、空间曲线在坐标平面上的投影曲线的方程曲线在平面上的投影先从曲线的方程中消去得到，它表示曲线为准线，母线平行于轴的柱面方程，那么就是在平面上的投影曲线方程曲线在平面上投影或在平面上投影类似地处理（乙）典型例题例1．求以点为顶点，以椭圆，为准线的锥面方程。解：过椭圆上任

7、一点的母线方程为12因为点在椭圆上，所以。而，将其代入椭圆方程，得锥面的方程为。例2．求旋转抛物面与平面的交线在平面上投影方程解：从曲线方程中消去，得曲线向平面得投影柱面方程。于是曲线在平面商得投影曲线的方程为例3．求直线在三个坐标面上的投影；解：在三个坐标面上的投影分别为在平面上：在平面在平面上例4．求直线在平面上的投影直线的方程，并求绕轴一周所成曲面的方程。解：过作垂直于的平面，的法向量故的方程为12投影直线的方程为从（1）+（2）得从（1）－（2）得这样得到的另一个方程为于是绕轴一周所得曲面方程为即12