最大公因数与最小公倍数的实际应用

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1、最大公因数和最小公倍数基础知识与实际应用相关基础知识几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。最大公因数和最小公倍数的性质（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。（2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。两个自然数的最大公因数与最小公倍数关系是：（a，b）×[a，b]=a×b。6是12和18的最大公因数，记作（1

2、2，18）=6。36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公因数，再用最大公因数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。两个数A，B，①如果A是B的倍数，那么最大公因数就是B，最小公倍数是A；②如果AB互质，那么最大公因数就是1，最小公倍数是A*B；欧几里得用辗转相除法求两个数的最大公因数。如果（a,b）来表示a和b的最大公因数。有定理：已知a,b,c为正整数，若a除以b余c，则（a,b）=(b,c)。辗转相除法（欧几里得算法）定义：所谓辗转

3、相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公因数。步骤：S1，用大数除以小数S2，除数变成被除数，余数变成除数S3，重复S1，直到余数为0时，较小的数就是原来两个数的最大公因数。例1：求15750与27216的最大公因数。解：∵27216=15750×1+11466∴（15750，27216）=（15750，11466）∵15750=11466×1+4284∴（15750，11466）=(11

4、466,4284)∵11466=4284×2+2898∴(11466,4284)=（4284，2898）∵4284=2898×1+1386∴（4284，2898）=（2898，1386）∵2898=1386×2+126∴（2898，1386）=（1386，126）∵1386=126×11∴（1386，126）=126所以（15750，27216）=126例2.求（1397，2413）2413=1397*1+1016，1397=1016*1+381，1016=381*2+254，381=254*1+127，254=127*

5、2+0，所以（1397，2413）=127。《九章算术》更相减损术找最大公因数《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公因数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”翻译成现代语言如下：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所

6、求的最大公因数。其中所说的“等数”，就是最大公因数。求“等数”的办法是“更相减损”法。例1、用更相减损术求98与63的最大公因数。解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以，98和63的最大公因数等于7。例2、用更相减损术求260和104的最大公因数。解：由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26辗转相减：65-26=3939-2

7、6=1326-13=13所以，260与104的最大公因数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即13*2*2=52。短除法找最大公因数与最小公倍数短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数互质，最大公因数是1的两个数叫互质数，如8和9）。而在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。求最大公因数便乘一边，求最小公倍数便乘一圈。（公因数：如果一

8、个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数。）实际应用例：有一个长方体的木头，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。如果把这块木头截成许多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少？解：根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚各数的最大