北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑(二)

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1、学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑（二）2．函数f（x）的不可导点有哪些类型？（1）函数f（x）在不连续点不可导．如，符号函数sgnx，在x＝0点不连续，在x＝0点不可导．（2）函数f（x）在连续点不可导有以下几种类型：①左、右可导，但左、右导数不相等；例如，函数f（x）＝

2、x

3、，在点x＝0左、右可导，但左、右导数不相等．②左、右两侧至少有一侧不可导；③左、右导数至少有一个是无限大．3．函数f(x)在点可导，是否函数f(x)在点的某邻域内每一点都可导？在点0可导，（当然在点0连续），事实上显然，函数f（x）在任意点x

4、≠0都不连续，即除点0外，函数f（x）在任意点都不可导．由此可见，一个函数可能仅仅在一点可导．4．什么是导函数？导数与导函数有什么区别与联系？怎样求导函数？如果函数f（x）在开区间（a,b）内每一点都可导，称函数f（x）在开区间（a,b）内可导，并称函数f（x）是（a,b）内的可导函数．如果函数f（x）在闭区间[a,b]内可导，且与都存在，称函数f（x）在闭区间[a，b]上可导，此时称f（x）为闭区间[a，b]上的可导函数．如果函数f（x）在区间I可导，此时对每一个点x∈I，都有惟一一个导数与之对应，这样按照函数的定义，

5、在I上定义了一个新的函数，称为函数f（x）在I上的导函数，记注意到，前面介绍的函数f（x）在点处的导数是一个值，这里给出的导函数是一个函数，这是二者的根本区别．函数f（x）在点的导数与函数f（x）在I上的导函数的关系是：导数等于导函数在点处的函数值，即有时，在导函数与导数不至于发生混淆的情况下，导函数简称导数．例如，求某一函数的导数，而没有特别指明是某一点的导数，这时实际上是求导函数的．从导函数的结构我们可以看出，导函数的结构从形式上就是函数f（x）在任一点x处的导数．因此要求函数f（x）在区间I上的导函数，只需要求出f

6、（x）在I上任一点x处的导数即可，而要求f（x）在点x处的导数，只需把极限求出来即可例1求函数y＝x的导数．思路启迪在本题中，实际上是求函数y＝f（x）的导函数的，只须把函数f（x）在任一点x处的导数求出来即可．规范解法∵f（x）＝x,f（x＋△x）＝x＋△x,△x≠0，△y＝f（x＋△x）－f（x）＝x＋△x－x＝△x．例2求函数思路启迪这里是求导函数的，可先求出处的导数，再把换成x即为所求．规范解法5.导数的几何意义是什么？它有哪些物理意义？由引例2，我们知道，若函数f（x）在点可导，则曲线y＝f（x）在点的切线存在

7、，且切线的斜率k就是函数f（x）在点处的导数,即故函数y＝f（x）在点处的导数的几何意义是：表示曲线y＝f（x）在点处切线的斜率，即．因此，若函数f（x）在点处可导，则曲线y＝f（x）在点处的切线方程是：．法线方程是导数的物理意义，根据函数f（x）的物理意义不同而不同．如若当函数f（x）表示质点作变速直线运动的路程时（x表示时间），其导数表示质点在时刻x的瞬时速度；当函数f（x）表示质点的速度函数时，其导数表示质点的瞬时加速度；当函数f（x）表示电量函数时（x表示时间），其导数表示时刻x的瞬时电流强度．等等．例1求曲线在

8、点（1，1）处的切线方程与法线方程．思路启迪按照导数的几何意义，只要求出函数在点x＝1处的导数即为该曲线在点（1，1）处的切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求出切线与法线方程．规范解法于是所求的切线方程为y－1＝3（x－1）,即3x－y－2＝0．例2求曲线思路启迪根据导数的几何意义，求曲线y＝f（x）上切线平行于已知直线的点，也即是求函数y＝f（x）在哪些点的导数与已知直线的斜率相等．因此，只要找出函数y＝f（x）与已知直线的斜率相等的点即可．规范解法故所求的点是（1，1）和（1，－1）．点评解决此题的关键是能正确理解

9、并掌握导数的几何意义．6．函数的可导性与连续性的关系是什么？由具有极限的函数与无穷小量的关系我们知道，存在一个当△x→0时的无穷小量α，即函数y＝f（x）在点x处连续．因此我们有：若函数y＝f（x）在点x可导，则函数y＝f（x）在点x必连续．反之，不一定成立，即若函数y＝f（x）在点x处连续，但它在点x不一定可导．例函数规范解法如图3-3，f（x）在点x＝0连续，事实上：f（0）＝0．故f（x）在点x＝0连续．但是，f（x）在点x＝0不可导（见1中的例2）．由上面的讨论可知，函数f（x）在点x连续是函数f（x）在点x可导

10、的必要条件，但非充分条件．即函数f（x）在点x处可导必连续，连续不一定是可导，不连续一定不可导．7．若函数f（x）与g（x）在点都不可导，它们的和H（x）＝f（x）+g（x）与积G（x）＝f（x）·g（x）在点是否也不可导？不一定．例如，函数f（x）＝

11、x

12、与g（x）＝－

13、x

14、．在x＝0都不可导，但是，它们的和与积H