北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑(三)

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1、学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑（三）例8设思路启迪利用三角函数的关系，将secx写成，再利用商的求导法则及cosx的导数公式即可求出规范解法由上例得类似地可得例9设规范解法y＝sin2x＝2sinxcosx．由法则2得从上面的例子可以看出，y＝sin2x是一个复合函数，它由两个函数y＝sinu与u＝2x复合而成，sin2x的导数是2cos2x而不是cos2x，那么sin2x的导数与sinu的导数和u＝2x的导数是什么关系呢？由于，而，即y对x的导数等于y对中间变量u的导数再乘以中间变量u对x的导数．一般地，我们有复合函数的求导法则（4）

2、法则（4）设函数在点x可导，函数y＝f（u）在其对应点也可导，则复合函数在点x可导，且y对x的导数等于y对中间变量的导数再乘以中间变量对自变量x的导数．即：证明：设自变量x有增量△x（△x≠0）时，中间变量u和函数y分别有相应增量△u与△y，由于在x处可导，从而连续，即有．重复应用法则（4），我们可以把复合函数求导法则推广到多次（有限次）复合的情形，如设[注：求复合函数的导数，首先要把复合函数进行“分解”，即找出它是由哪几个“简单函数”复合而成．这里的“简单函数”是指基本初等函数或多项式函数．因为导数基本公式中都是基本初等函数的导数，而多项式函

3、数是幂函数的线性组合，其导数也易求．然后再利用复合函数的求导法则和导数的基本公式即可．如果“分解”得不彻底，即“分解”出来的函数不是基本初等函数或“多项式”函数，则在利用法则和公式时就要出现错误．]例10思路启迪该函数可以分解成两个函数，对于这两个函数的导数可利用公式．只要正确运用复合函数求导法则及相应公式即可．规范解法设u＝4x－1,则可看作是由复合而成的，由复合函数的求导法则得：例11规范解法设u＝cosx,则可看作是由与u＝cosx复合而成，由复合函数的求导法则得例12思路启迪函数y＝sinlnx是由函数y＝sinu与u＝lnx复合构成．

4、这里写出中间变量u只是为了初学者正确使用复合函数求导法则，其实，在复合函数求导法则运用熟练以后，中间变量就不必再写出来，但复合关系一定要清楚，并且心中记住复合函数求导的过程．规范解法例13思路启迪函数规范解法例14思路启迪该函数是由两个函数复合而成，求y对x的导数，先求y对u即对求导，再乘以u即对x的导数．思路启迪利用恒等式将写成，则可看用由与两个函数复合而成．求由多个函数经多次复合而成的复合函数的导数时，就要多次地应用复合函数求导法则．．分析上例，怎样逐次地应用复合函数的求导法则呢？应先对给定的函数进行分析，当取什么函数作为中间变量（不必写出

5、，心中清楚）时，给定的函数对此中间变量求导并利用导数公式．本例是把看作中间变量，给定的函数就可应用幂函数的导数公式，根据复合函数求导法则，有：这时中间变量仍是变量x的复合函数，重复刚才所说的方法，本例是把看作中间变量，可利用正弦函数的导数公式，由复合函数的求导法则有：逐次地作下去，直至最后一个中间变量对x求导数为止（本例最后一个中间变量即为）．从上面分析看到，要逐次地应用复合函数求导法则，关键在于选择中间变量，选择的原则是某个函数做中间变量时，给定的函数变可应用导数公式．思路启迪可看作复合而成，而是由x与两个函数的和所构成，可看作是与复合而成．

6、规范解法思路启迪由于x≠0与x＝0时函数的结构不相同，因此须用导数定义求解法．[注：一般情况求分段函数的导函数可以按照以下步骤来完成．①若函数在各段开区间为可导，应分别求出它在各区间内的导数．②判断分段点处的可导性．（Ⅰ）若函数在点不连续，则它在点不可导．（Ⅱ）若函数在点连续，按分段点左、右侧的不同解析式分别求出其左、右导数．当左、右导数存在并且相等时，则函数在点可导；当左、右导数存在，但不相等；或其中至少有一个导数不存在，则在点就不可导]．例23证明可导的偶函数的导函数为奇函数，而可导的奇函数的导函数为偶数．并对这个事实加以几何解释．思路启迪

7、要证明一个函数是奇数，需证明，有f（－x）＝－f（x）,而要证明一个函数是偶函数，需证明f（－x）＝f（x）．规范证法设f（x）为偶函数，则对x∈R有f（－x）＝f（x），同理可证：可导的奇函数的导函数为偶函数．这个事实说明：凡对称于Oy轴的图形，其对称点的切线也关于Oy轴对称；凡关于原点对称的图形，其对称点的切线相互平行．思路启迪是由sinnx与两个函数所构成；而是由sinu与u＝nx复合而成；是由与复合而成．规范解法例25设函数讨论：（1）n取何值时，f（x）在x＝0连续。（2）n取何值时，f（x）在x＝0可导．思路启迪要使函数f（x）在点

8、连续，需使要使函数f（x）在点可导，需使极限存在，只要能紧扣函数的连续与可导的这两个定义，本题将会迎刃而解．此极限当n－1>0时存在，因此n≥2时，f