北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑

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1、学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑（四）11．什么是高阶导数？我们知道函数的导数是．而导数仍是可导的，它的导数是．这种导数的导数就称为对y对x的二阶导数．一般地我们有：函数y＝f（x）的导数仍是x的函数，若函数的导数存在，则称的导数为y＝f（x）的二阶导数．记作相应地，把y＝f（x）的导数叫作函数y＝f（x）的一阶导数．同样，若二阶导数的导数存在，则称其导数为y＝f（x）的三阶导数．记作……一般地，若n－1阶导数的导数存在，则称其导数为y＝f（x）的n阶导数．记作这里的n称为导数的阶数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．若y＝f（

2、x）具有n阶导数，也常说成函数f（x）为n阶可导．由以上高阶导数的定义可以看出，要求n阶导数，需要求出n－1阶导数，要求n－1阶导数，需要求出n－2阶导数，…，要求二阶导数，需要求出一阶导数，因此要求高阶导数，只需要进行一连串通常求导数的运算即可．例1求n次多项式的各阶导数．．思路启迪首先求出f（x）的一阶、二阶、三阶等阶数较低的n阶导数，从中找出导数与导数阶数的关系．可见，每经一次求导运算，多项式的次数就降低一次．继续求导下去，易知：是一个常数，由此有即n次多项式的一切阶数高于n的导数都等于零．思路启迪要证明这个等式成立，而在此等式的

3、左边含有，只要能正确求y对x的两阶导数，将y及代入等式左边并验证其为零即可．规范证法例4求y＝sinx的n阶导数．思路启迪求sinx的n阶导数的关键是找出n阶导数与导数的阶数的关系，为此我们可以先求出较低n阶导数，从中归纳出导数与导数的阶数的关系即可．12．怎样求隐函数的导数？前面所讨论的函数求导方法，函数都是因变量y已经写成自变量x的明显表达式y＝f（x）的形式，这样的函数称为显函数．但有时我们所遇到的函数关系不是明显地用显函数形式表示的情形．如方程2x＋5y＋1＝0及它们都表示x、y之间的函数关系．一般地我们把由方程F（x，y）＝0

4、表示的因变量y自变量x的函数关系式y＝f（x）称为隐函数．对于隐函数，有时可以根据确定隐函数关系的方程找出显函数形式y＝f（x），从而可利用前面的求导方法把它的导数找出来，但有时要把这个隐函数表示成显函数的形式是比较复杂的，有时甚至是不可能的，这时要利用前面的方法求导数就比较困难，甚至不可能，因此，我们有必要寻求隐函数的求导方法．实际上，对于隐函数我们不需要把它表示成显函数的形式，就可以把它的导数求出来．方法是：将确定隐函数的方程的两端同时对x求导（注意到y表示x的函数），求导过程中，遇到变量y，把y看中间变量，先对y求导，再乘以y对x

5、的导数（即遇到变量y要利用复合函数的求导法则）．这样，我们可以得到一个关于的一元一次方程，解出即可．思路启迪由于y是x的函数，可将y写成x的函数的形式y（x），则可写成思路启迪由于方程所确定的是y为x的函数，可将y写成x的形式y（x），则该方程可写成于是由隐函数的求导法则得．规范解法将方程两端对x求导，并利用函数的求导法则得13．什么是对数求导法？它主要适用于哪些类型函数的求导？对数求导法是将函数y＝f（x）两端取绝对值（由于求导之后绝对值同时去掉，因此常把取绝对值这一步省略，认为f（x）为正值，即lnf（x）有意义）．然后再两端取对数

6、（取自然对数，它的导数形式比较简单）．这时我们就把它化成隐函数，然后再求出它的导数．这种把显函数取对数化成隐函数再求导的方法称为对数求导法．它常用于由若干因式的积、商或根式组成的函数和幂指函数的求导运算．对数求导法的优点是：它把积变成和，把商变成差，把幂指变成积．易知，和差的求导运算要比乘、商的求导运算简单．具体步骤如下：（1）两端取绝对值（常略去）之后，再取自然对数．（2）等式两端分别对自变量求导．举例如下思路启迪在前面我们利用恒等式求出了该函数的导数，在此我们将利用隐函数求导法求它的导数．这里可将等式两端取对数首先把它变成隐函数，再

7、利用隐函数求导法．规范解法两端取对数lny＝g（x）lnf（x），两端对x求导思路启迪该函数是由两个函数的商构成，而商的分子和分母都是由三个函数的积所构成，若直接利用商与积的求导法则就比较麻烦，但若借助于两端取对数，再利用隐函数的求导方法就比较简单．规范解法两端取对数lny＝ln（x－1）＋ln（x－2）＋ln（x－3）－ln（x－4）－ln（x－5）－ln（x－6）,两端对x求导14．怎样利用导数判别函数的单调性？我们知道，如果函数f（x）在区间（a，b）内是增函数或是减函数，那么我们就说函数f（x）在区间（a，b）具有单调性，区间（

8、a，b）称为f（x）的单调区间．那么怎样利用导数判别函数的单调性呢？设函数f（x）在（a，b）可导，则曲线y＝f（x）处处有切线．如图3-4，曲线上每点的切线与x轴正向的夹角是锐角，即这时函数在（a，b）是