北大附中高考数学专题复习极限经点答疑(二)

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1、名师点拨学科：数学教学内容：极限经点答疑(二)规范证法Ix1>-就可以了.因此£I/(x)-OI=丄_0v&恒成立'所以lim丄=0.XT+ooX有时，我们还需要区分X趋于无穷大的符号.如果X从某一时刻起，往后总是収正值而且无限增人.则称X趋于正无穷人，记作X-+8,此时定义>P，

2、x

3、>M可改写为x〉M,如果x从某一时刻起，往后总取负值且

4、x

5、无限增大，则称x趋于负无穷大，记作此时定义中的Ix

6、>M可改写成x<-M.(l)limXT+8(2丿=0,(2)lim2V=0X->-OOF面证明(1)limXT+OC=0.思路启迪根据定义,要证

7、limXT+812丿=0,即证对于任意给定的£>0,总存在M>0,使当x刈时，［-

8、一0<£即可.⑵1V规范证法设f(x)=—•对任意给定的£>0,要使J2丿开始学习例2用定义证HJ]lim-=O.XT8X设f(x)=丄，对于任意给定的€>0,要使lf(x)-0l=X对于任意给定的£>0,取M=-，则当

9、x

10、>M吋,£If(x)-Ol=I-<8,只要2*>-,即X〉8lg-£设(8<1)就可以了.因lg--0£>0,取M=—色设(£V1),则当X>M时,lf(x)-OI=1§2同理可以证明l

11、im2X=0X—>-co当X-*8时，f(x)以A为极限的儿何意义是：对于任意给定的正数£(无论多么小)，在处标平而上作两平行直线y二A-£与y二A+£,两直线之间形成一个带形区域.不论£多么小,即不论带形区域多么狭窄，总可以找到M>0,当点(x,f(x))的横坐标x进入区间(―,-M)U(M,+E时,纵坐标f(x)全部落入区间(A-£,A+£)内.此吋y=f(x)的图形处于带形区域内.£越小，则带形区域越狭窄，如图2—7所示.图2・78.什么是函数左极限与右极限？前面讲了XTX。时函数f(x)的极限，在那里X是以任意方式趋于X。的.但是

12、，有时我们还需要知道X仅从X()的左侧(XX(J趋于X()吋，f(X)的变化趋势.于是，就要引进左极限与右极限的概念.(、［1x<0例如，函数={,图形见图2-&图2-8容易观察出，当X从0的左侧趋于0时,f(x)趋于1；而当X从0的右侧趋于0时，f(x)趋于0.我们分别称它是x趋于0时的左极限与右极限.再考察y=坂当x趋于0时的极限.由于函数的定义域为[0,+8)因此只能考察其右极限.对y二丘，由于其定义域为(-8,0],因此，当x趋于0时，只能考察其左极限.定义：如果当x从X。的左侧(x

13、时，f(x)以A为极限，即对于任意给定的e>0,总存在一个正数§,®Ox0)趋于XTXoX。时，f(x)以A为极限，即对于任意给定的£>0,总存在一个正数使当0VX—X。<3时，

14、f(x)-A

15、<「恒成立，则称A为XTX。时f(x)的右极限，记作limf(x)=A或XT"f(x0+0)=A.根据左、右极限的定义，显然可以得到下列定理.定理：limf(x)=成立的充分必要条件是limf(x

16、)=limf(x)=A.X_>X°x->x0x->x0例1设f(x)=Pxv],研究当xtO时，f(x)S勺极限是否存在2xx>0思路启迪耍看当x-0吋，f(x)的极限是否存在，就应先求illx-0吋f(x)的左、右极限，并看f(x)的左、右极限是否相等.若相等，则极限存在；反Z,则极限不存在.规范解法当x〈0时，limf(x)=lim2=2:而当x$0时，limf(x)=lim2x=0.左、xtOx->0xtOx->0右极限都存在，但不相等.所以，由上而的定理可知，不存在.例2研究当x->0时，f(x)=

17、x

18、的极限.思路启迪因为f(x

19、)=

20、x

21、,所以应对f(x)分情况讨论，得到f(x)为一个分段函数，再按照例1的方法讨论f(x)的极限.—xx<0规范解法f(x)=lxl=^，已知limf(x)=limx=O,町以证明，xx>0x->64limf(x)=lim(-x)=0,XT()X->0所以，由上面的定理得limlx1=0.xtO8.怎样计算函数的极限？耍计算函数的极限，需知道函数极限的运算法则，它们的证明完全和数列的悄形相仿.函数极限的四则运算法则：如果limf(x)=a,limg(x)=b,那么lim[f(x)±g(x)]=a±b,lim[f(x)g(x)]x->

22、xoXTX0x->xoX->X0=a•b,lim=—(b0)XWog(x)b这些法则对于X-8时的情况仍然成立.山以上法则易得lim[Cf(x)]=Climf(x)(C是常数),XTX“X->