一元二次方程的几种解法和习题

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1、一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。方程x2－1=2xx－x2=06－3y2=0（x－2）（2x+3）=6一般形式二次项系数一次项系数常数项二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，

2、方程没有实数根。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c（1）（2）（3）不用解方程判断下列方程根的情况：4

3、、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于，二根之积等于也可以表示为,。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用三、一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即I当△>0时，一元二次方程有2个不

4、相等的实数根；II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III当△<0时，一元二次方程没有实数根四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。五、一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。　　公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般

5、形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。　　配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。课堂练习一、填空题和选择题1．把方程化成一般形式是．2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数之和为．3．已知是方程的一个根，则．4．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是．5．已知的值为，则代数式的值为．6．下列关于的方程：①；②；③；④中

6、，一元二次方程的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．若是关于的一元二次方程，则不等式的解集是（）A．B．C．且D．8．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（）A．B．C．或D．9．已知是关于的方程的一个解，则的值是（）A．B．C．D．10.关于x2=－2的说法，正确的是（）A.由于x2≥0，故x2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x2=－2是一个一元二次方程D.x2=－2是一个一元二次方程，但不能解11.若是方程的一个根，则的值为（）A．B．C．D．12．无论a为何实数，下列关于的方程是一元二次方程的是（）

7、A．(a2－1)x2+bx+c=0B.ax2+bx+c=0C．a2x2+bx+c=0D.(a2+1)x2+bx+c=0三、解关于的方程1、2、3、4、5、6、四、在实数范围内分解因式：1、2、=五、解答题1、已知方程的一个根，求的值及另一个根。2.阅读下面的例题：解方程解：（1）当x≥0时，原方程化为x2–x–2=0，解得：x1=2,x2=-1（不合题意，舍去）（2）当x＜0时，原方程化为x2+x–2=0，解得：x1=1,（不合题意，舍去）x2=-2∴原方