一元二次方程的几种特殊解法

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1、一元二次方程的几种特殊解法　　关于一元二次方程的解法，有常用的有配方法、公式法、十字相乘法等。但是有些一元二次方程可以有特殊的解法，使得方程的求解更加简便。下面介绍几种特殊的方法。　　一、利用一元二次方程的性质解题　　1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0，（a≠0）。若满足：ac±b+1=0，则两根为x1=±c，x2=±■。　　证明：如果ac+b+1=0，则ac=-b-1，　　由求根公式得：x=■=■=■，　　即：x1=■=■，　　x2=■=■=■=c，　　如果ac-b+1=0，则ac=b-1，　　由求根公式得：x=■=■=■，　　即：x1=■=■，　　x2=

2、■=■=■=-c。　　例1求解一元二次方程2x2-11x+5=0。　　解析：这个一元二次方程显然有解，除了用十字相乘法，运用上述性质更加简便。根据原方程，系数a=2，b=-11，c=5。根据计算观察，ac+b+1=0。　　根据上述性质，原方程的两根x1=■，x2=5。4　　2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0，（a≠0）。若满足，a±b+c=0，则两根为x1=±1，x2=±■。　　证明：如果a+b+c=0，则a=-b-c，　　由求根公式得：x=■=■=■，　　即：x1=■=■=1，x2=■=■。　　如果a-b+c=0，则a=b-c，　　由求根公式得：x=■=■

3、=■，　　即：x1=■=■=-1x2=■=-■。　　例2求解一元二次方程56x2+127x-183=0。　　解析：这个方程的系数比较大，用传统的求根公式、十字相乘法等计算量大，容易出错。方程的系数a=56，b=127，c=-183，根据观察a+b+c=0。　　根据上述性质，原方程的两根x1=1，x2=-■。　　二、积差法求解一元二次方程　　积差法就是把一元二次方程的二次项与一次项因式分解，常数项因式分解，使得等号两边各因式的差相等，根据大小写出等式进而求方程的解。　　1.二次项系数变为1，常数项为正数，如x2+bx+c=0（c>0）的一元二次方程。　　第一步：移常数项，x

4、2+bx=-c；　　第二步：提公因式，x（x+b）=-c；　　第三步：观察因式的差，因式x和（x+b）相差b，若满足c=c1×c2（c1，c2为c的因数，c1x+b，则x=c2或x=c1，否则x+b=c2或x+b=c1。　　2.二次项系数变为1，常数项为负数，形如x2+bx+c=0（c<0）的一元二次方程。　　第一步：移常数项，x2+bx=-c；　　第二步：提公因式，x（x+b）=-c；　　第三步：观察

5、因式的差，因式x和（x+b）相差b，若满足-c=c1×c2或-c=（-c1）×（-c2）（c1，c2为c的因数，c1x+b，则x=c2或x=-c1。　　三、数形结合求解一元二次方程　　当一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0，（a≠0），a与c异号时，我们可以采用数形结合求解一元二次方程。构造一个边长为x和x+■的矩形，并且把四个相同的矩形拼成一个边长为（x+x+■）的正方形，如图，根据S正=4

6、S矩+S小正，（x+x+■）2=4（-c）+（■）2，进而运用直接开平方，可以求解。　　■4　　以上介绍的关于一元二次方程的一些特殊解法，学生也可以在理解并掌握的基础上，运用上述特殊解法求解某些方程一元二次方程。　　（作者单位：广东省惠州市博罗县湖镇中学）4