2.7对数(第一课时)

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1、对数产生于17世纪．那时，为了确定船舶在大海中的航程和位置，为了观察行星运动所得数据，都必须对具有很多数位的数进行繁复的计算，对数的发明的重要性就在于提高了数字计算的速度．直到计算机与计算器普及之前，对数表与计算尺还在计算中发挥着重要作用．指数概念扩充到任意实数指数是17世纪到18世纪逐步形成的．18世纪后人们将它们联系起来研究．我们在学习中，要注意指数与对数、指数函数与对数函数的联系，这有利于我们理解和掌握有关概念．在前面我们学习的指数函数y＝ax（a>0,a≠1）中，若已知y和a，如何求x呢？即3x＝5,x＝____________?这是已知底数和幂

2、的值，求指数的问题，也就是这一节我们要学习的对数问题． 【学习目标】1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化；2．了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用计算． 【学习障碍】1．学生对logaN＝b这种表达很陌生，不习惯．2．不明白对数式的含义，即对定义理解不确切．3．对真数的取值范围意义不明白，误认为0和负数也可以．4．对数式与指数式互化不熟练． 【学习策略】Ⅰ．学习导引1．阅读课本P76~77页．2．本课时重点是指数式与对数式的互化，ab＝Nb＝logaN（a>0,且a≠1）．难点是对对数的定义的理解．3．本课时主要基本知识．对数的

3、定义：如果a（a>0,a≠1）的b次幂等于N，就是ab＝N,那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数．（“log”是拉丁文logarithm（对数）的缩写）．常用对数：通常将以10为底的对数叫常用对数．自然对数：以e为底的对数叫做自然对数．4．注意：零和负数没有对数．5．学习本课时应注意：对数的概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数式与指数式的相互联系，深刻理解对数与指数关系，将有助于掌握对数概念，对于对数式与指数式的互化，简单对数值的计算，要多做些练习，以丰富对对数式的认识经验．对数运算是指

4、数运算的逆运算，结合对数运算应注意培养自己的逆向思维能力．Ⅱ．知识拓宽常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，N的常用对数log10N，简记作lgN，例如log105记作lg5．以无理数e＝2．718281828459…为底的对数叫做自然对数，N的自然对数logeN简记作lnN．例如自然对数loge3记作ln3．自然对数与常用对数之间的关系：lnN＝，即lnN＝2.303lgN．在常用对数中我们省去了底数不写．例如lg10＝log1010＝1，lg100＝log10102＝2，lg0．1＝log1010－1＝－1等等．Ⅲ．障碍分析1．对数式、指数式与根式

5、有怎样的关系？答：指数式ab＝N，根式＝a和对数式logaN＝b（N>0，a>0，a≠1）是同一种数量关系的三种不同表达形式．请见下表．  表达形式abN对应的运算ab＝N底数指数幂乘方，由a、b求N＝a方根根指数被开方数开方，由N、b求alogaN＝b底数对数真数对数，由N、a求b 由此可见：①开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算．②弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义及运算的关键．即ab＝NlogaN＝b（a>0且a≠1）．2．如何理解对数的概念？答：（1）对数由指数而来．对数式logaN＝b是由指数式ab＝N而来的，两式底数相同，对数式中的真数

6、N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数．对数式与指数式的关系如图：在指数式ab＝N中，若已知a、N求幂指数b，便是对数运算b＝logaN．（2）对数记号logaN只有在a>0且a≠1、N>0时才有意义，因为在ab＝N中，a>0且a≠1，∴在logaN中，a>0且a≠1．又因为正数的任何次幂都是正数，即ab>0（a>0），故N＝ab>0．（3）关于对数的几个基本结论要牢记如：①零和负数没有对数，即在logaN中N≤0时无意义．②loga1＝0（a>0，a≠1）．③logaa＝1（a>0，a≠1）．注意：并不是所有的指数式都能直接改写成对数式

7、，如（－2）2＝4不能写成log（－2）4＝2，只有a>0，a≠1，N>0，才有ab＝Nb＝logaN．（4）抓住两个问题实质，才能正确理解对数概念．问题1如果已知每年平均增长率α，求10年后国民生产总值是原来的多少倍．就是y＝（1＋α）10．这是知道底数和指数，求幂值——指数问题．问题2如果已知每年平均增长率α，问需经过多少年国民生产总值是原来的2倍．就是（1＋α）x＝2这是知道底数和幂值，求指数——对数问题．3．对数恒等式的证明：恒等式＝N（a>0，a≠1，N>0）称为对数恒等式．f［f－1（a）］＝a的具体化，它表达了对数运算与指数运算的互逆关系．

8、恒等式的证明如下：设＝x，两边取以a为底的对数，则有logax＝logaN，∴x