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1、实验3一元函数微分学-23-实验3一元函数微分学实验目的1．借助软件绘图功能，从几何直观上帮助理解导数的概念以及切线方程、法线方程；2．借助软件绘图功能，深入理解驻点、极值点、单调区间、凹凸性和渐近线概念；3．从几何上帮助理解微分中值定理和泰勒展开定理；4．学习使用软件进行导数和微分的基本运算；5．近似计算。实验准备1．导数的概念2．导数的基本运算规则（1）；（2）；（3）若，则。3．微分中值定理若在上可微，则在中一定存在一点，使得.4．泰勒展开式若在点附近是次可微的，则在的附近可以写成其中称为泰勒
2、展开式中的余项。5．导数的应用（1）函数几何性质的判断（2）极值实验3一元函数微分学-23-实验内容1．导数概念及其几何意义2．微分中值定理的几何演示3．泰勒展开定理与多项式逼近4．驻点、拐点、极值点、单调区间、凹凸性和渐近线的几何示意图5．导数的运算6．利用软件求极值7．近似计算软件命令表3-1Matlab一元函数求导命令函数名称调用格式说明symssyms变量名1，变量名2,…定义符号变量symf=sym('expression')定义符号表达式diffdiff(f,x,n)求f对x的n阶导数d
3、iff(X,n)求X中相邻两元素的n次递归差分diff(Y)./diff(X)计算近似导数taylortaylor(f,n,x0)在处展开函数到第n项solvesolve('equations',x,…)方程（组）求根fsolvefsolve('equations',x0,…)非线性方程（组）求根rootsroots(p)多项式求根plotplot(x1,y1,'options',x2,y2,'options',…)绘制散点图演示实验【例3.1】导数的概念及其几何意义考察函数的图像及在处切线、割线之
4、间的关系。【原理】：过点的切线方程和法线方程分别为实验3一元函数微分学-23-和割线方程为【步骤】：Step1:取，绘制在点的割线、切线和法线；Step2：分别取，利用动画展示函数图像、切线、割线和法线之间的关系。【程序】：程序参见Exm03Demo01.m。【例3.2】洛尔定理的几何意义设函数，（1）验证分别在区间上满足洛尔定理，并通过图形展示洛尔定理的几何意义；【原理】：在区间上可微，且，所以分别在区间上满足洛尔定理的条件。由洛尔定理，存在，使得。【步骤】：Step1:画出的图形，并求出。实验3
5、一元函数微分学-23-clearclfsymsx;f=(x-3)*(x-1)*(x+1)*(x+3);df1=diff(f,x);rt=solve(df1,x);fori=1:3vf(i)=subs(f,x,rt(i));endvf=double(vf);X1=[-4.0:0.1:4.0];n1=length(X1);Z1=zeros(1,n1);fori=1:n1Y1(i)=subs(f,x,X1(i));DY1(i)=subs(df1,x,X1(i));实验3一元函数微分学-23-endplot
6、(X1,Y1,'r-',X1,DY1,'b-',X1,Z1)输出图形：图3-2（1）f(x)以及f’(x)的图形实验3一元函数微分学-23-求得的根为：-5^(1/2)；0；5^(1/2)。Step2:画出及其在点处的切线。实验3一元函数微分学-23-Y0=ones(1,length(X1))*vf(1);X2=[0:0.1:4];Y2=ones(1,length(X2))*vf(2);X3=[-4:0.1:0];Y3=ones(1,length(X3))*vf(3);axis([-44-5050]
7、)holdonplot(X1,Y1,'r-',X1,DY1,'b-',X1,Z1)plot(X1,Y0,'r--',X2,Y2,'b-.',X3,Y3,'k--')holdoff输出图形为：图3-2（2）切线图及几何意义实验3一元函数微分学-23-【例3.3】泰勒展开式对函数分别在处进行作泰勒展开到2、4、6、8阶，并在区间内作出函数及其在处2、4、6、8阶泰勒多项式的图形。【步骤】：实验3一元函数微分学-23-Step1：在处展开成泰勒级数；Step2：在处展开成泰勒级数Step3：绘制函数图形【
8、程序】：参见Exm03Demo03.m。【输出】：实验3一元函数微分学-23-（1）在x=0展开（2）在处展开实验3一元函数微分学-23-图3-3一元函数的泰勒展开【例3.4】驻点与拐点的计算已知函数，求的驻点、拐点。【步骤】：【Step1】：求出函数，并绘制图形：在命令窗口中键入：symsx;f=(x+1)^3/(x-1)^2;df1=diff(f,x);simplify(df1)df2=diff(f,x,2);simplify(df2)输出结果：df1=(x+1)
