高考数学压轴—数学归纳法(含解法)

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1、高考数学压轴—数学归纳法（含解法）运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。Ⅰ、再现性题组：1.用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1)（n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____。A.2k＋1B.2(2k＋1)C.D.2.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1

2、)时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。A.2B.2－1C.2D.2＋13.某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。(94年上海高考)A.当n＝6时该命题不成立B.当n＝6时该命题成立C.当n＝4时该命题不成立D.当n＝4时该命题成立4.数列{a}中，已知a＝1，当n≥2时a＝a＋2n－1，依次计算a、a、a后，猜想a的表达式是_____。A.3n－2B.nC.3D.4n－35.用数学归纳法证明3＋5(n∈N)能被

3、14整除，当n＝k＋1时对于式子3＋5应变形为_______________________。6.设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。【简解】1小题：n＝k时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1时，左端的代数式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以应乘的代数式为，选B；2小题：（2－1）－（2－1）＝2，选C；3小题：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立，选C。4小题：计算出a＝1、a＝4、a＝9、a＝16再猜想a，选B；5小题：答案（3＋

4、5）3＋5（5－3）；56小题：答案k－1。Ⅱ、示范性题组：例1.已知数列，得，…，，…。S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明。（93年全国理）【解】计算得S＝，S＝，S＝，S＝，猜测S＝(n∈N)。当n＝1时，等式显然成立；假设当n＝k时等式成立，即：S＝，当n＝k＋1时，S＝S＋＝＋＝＝＝,由此可知，当n＝k＋1时等式也成立。综上所述，等式对任何n∈N都成立。【注】把要证的等式S＝作为目标，先通分使分母含有(2k＋3)，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3）－1。这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路

5、是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三步：试值→猜想→证明。【另解】用裂项相消法求和：由a＝＝－得，5S＝（1－）＋（－）＋……＋－＝1－＝。此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现＝－的裂项公式。可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性。例2.设a＝＋＋…＋(n∈N),证明：n(n＋1)

6、，因为a＝a＋,所以在假设n＝k成立得到的不等式中同时加上，再与目标比较而进行适当的放缩求解。【解】当n＝1时，a＝，n(n+1)＝，(n+1)＝2，∴n＝1时不等式成立。假设当n＝k时不等式成立，即：k(k＋1)k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2)，(k＋1)＋＝(k＋1)＋<(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)，所以(k＋1)(k＋2)

7、数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。本题中分别将缩小成(k＋1)、将放大成(k＋)的两步放缩是证n＝k＋1时不等式成立的关键。为什么这样放缩，而不放大成(k＋2)，这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则。5本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明。主要是抓住对的分析，注意与目标比较后，进行适当的放大和缩小。解法如下：由>n可得，a>1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；由