图形变换的几何化表示

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1、图形变换的几何化表示——论图形变换和投影的若干问题之一图形变换的几何化表示——论图形变换和投影的若干问题之一何援军作者简介：何援军，男，1945年生，教授，博士生导师，主要研究领域为CAD/CG、几何计算的理论与算法研究等。Email：yjhe@sjtu.edu.cn。（上海交通大学计算机科学与工程系上海200030）摘要：对已有文献中一般采用分离的齐次坐标矩阵的图形变换叙述方法作了比较大的改进。根据仿射变换理论，从几何计算的理论和算法出发，探索了图形变换的几何化表示机制，将图形变换与基本几何有机地联系在一起，用有向直线求解系列函数构筑图形变换齐次矩阵，统一了平移、旋转、错切、对称和比例等

2、坐标变换。关键词：图形变换，几何变换，齐次坐标，矩阵，CG中图法分类号：TP391GeometricRepresentationofGraphicsTransformationHeYuanjun(DepartmentofComputerScienceandEngineering,ShanghaiJiaotongUniversity,Shanghai200030,China)Abstract:Problemsingraphicstransformationandprojectionarediscussedinthisseriesofpapers,includingtransformation

3、,projectionandperspective.Thispaperisfocusedongeometricrepresentationofgraphictransformation,andmakesabigimprovementonthemethodsoftransformationdescribing,whicharepublishedinsomebookswithaseparatedhomogenouscoordinatormatrix.Basedonaffinetransformtheoryandbymeansofgeometrycomputingtheoryandalgorit

4、hm,geometricrepresentationofgraphicstransformationisprobed;graphicstransformationandbasicgeometryarelinked,andfinallytranslation,rotation,shear,symmetryandscaleareunifiedthroughahomogenousmatrixcomposedbydirectedlinesolutions.Keywords:graphictransformation,geometrictransformation,homogeneouscoordi

5、nate,matrix,CG1.引言一个图形系统应该允许用户去定义一个图形，包括对图形的各种变换。例如可以放大一个图形以便使某一部分能更清楚地显示，缩小图形以便看到图形更多的部分。可以将变换应用于符号，使符号平移和旋转。在几何造型中，可用图形变换改变物体间的相对位置，用透视变换和投影变换产生同一三维景物在各种不同视点位置和视线方向下的不同影像，在视点改变非常快或物体相对运动的应用场合，变换必须反复运用。因此，找到一个有效的方法去实现图形变换是十分必要的。一般的图形变换采用以下的齐次变换矩阵：给出，其中：8图形变换的几何化表示——论图形变换和投影的若干问题之一1)左上角3×3子阵R起旋转、比

6、例、剪切、反射等作用。2)左下角1×3子阵T起平移变换的作用。3)右下角1×1子阵S当P全为0时起全图总比例变换的作用。4)右上角3×1子阵P可对物体作透视变换，灭点的个数与子阵P中不为零的个数相同。本系列文章对国内已出版的有关计算机图形学、计算机绘图以及机械制图等图书或教材中关于图形变换、投影变换以及透视变换等的相关叙述进行了认真的审视，提出了一些见解。例如，n几乎所有已出版的同类书籍[1-3]将三维空间变换和投影变换统一在同一齐次矩阵中表述，忽略了第三维坐标，损失了近1/3的有效（深度）信息；n对平移、旋转、错切、对称和比例变换等坐标变换均采用单独叙述的方式[2]；n投影变换的正确图示

7、问题[4-8]，目前已出版图书中投影变换图示插图的错误较多；n透视变换所产生的灭点参数定量求取问题[9-11]等等。本文根据仿射变换理论，探索了图形变换的几何化表示机制，使几何变换与基本几何有机联系，用有向直线求解系列函数构筑图形变换齐次矩阵，使几何变换统一、简单。注：本文发表于计算机辅助设计和图形学学报，2005年4月，第17卷第4期，PP723-728。1.图形变换的几何化基础1.1齐次坐标的几何意义为了能用矩阵的形