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《图形变换和运动的共形几何代数表示方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第25卷第9期计算机应用研究Vol.25No.92008年9月ApplicationResearchofComputersSep.2008*图形变换和运动的共形几何代数表示方法a,ba,b邢燕,檀结庆(合肥工业大学a.理学院;b.计算机与信息学院,合肥230009)摘要:共形几何代数是一种新的几何表示和几何计算工具,它具有直观、简洁、高效、统一、雅致等特性。在简单介绍外积、内积和几何积等基本概念之后,重点论述了共形几何代数在图形反射、旋转、平移等变换和刚体运动、螺旋运动等方面的描述和计算方法,并给出了实验示例。共形几何代数在计算机图形学、计算机视觉和机器人学等领域
2、将有广泛应用。关键词:共形几何代数;几何积;图形变换;刚体运动;螺旋运动中图分类号:TP391文献标志码:A文章编号:1001-3695(2008)09-2842-03CGArepresentationofgraphictransformationsandmotionsa,ba,bXINGYan,TANJie-qing(a.SchoolofScience,b.SchoolofComputer&Information,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China)Abstract:Conformalgeometrical
3、gebra(CGA)isakindofnewgeometricrepresentationandgeometriccomputationtool,andithaspropertiesofgeometricintuitiveness,compactness,highefficiency,unificationandelegance.Afterintroducingthebasicknowledgeofgeometricalgebrasuchasouterproduct,innerproductandgeometricproduct,thispaperfocusedo
4、ntheCGAdescriptionandcomputationwithgraphicreflection,rotation,translation,rigidbodymotionandscrewmotion,andgavetheexperimentaldemonstrations.CGApromisesabrightfutureinavarietyofapplicationareasofcomputergraphics,computervi-sion,roboticsandsoon.Keywords:conformalgeometricalgebra;geome
5、tricproduct;graphictransformation;rigidbodymotion;screwmotion三维图形的几何变换是计算机图形学的重要基本技术。线性a∧(b+c)=a∧b+a∧c各类图形应用软件的开发不可避免地需要经常处理一些典型结合性a∧(b∧c)=(a∧b)∧c的图形变换,如图形的平移、反射、旋转和缩放等。机械手和机可见,平行的向量外积为0:a∧a=-a∧a=0。器人等研究的广泛兴起,也促使人们寻求更有效的图形变换方外积主要用于几何对象的构建和求交。例如两个向量的法。这些图形变换的经典方法一般都是通过变换矩阵来实现,外积是一个二向量(
6、平面量),即这两个向量张成的平面内的[1,2]而四元数方法是比较新颖的方法。本文将介绍的是与四一个有方向的面积元素;三个向量的外积是一个三向量(体向元数有密切联系的但却是更加通用的简洁统一的共形几何代量)。[3,4]数方法。1.2.2内积两个向量的内积与向量的点积(标量积)相同。互相垂直1共形几何代数的向量内积为0。在几何代数中,不仅仅向量能做内积,二向量、三向量等多向量均能做内积。不同级别的对象做内积的结1.1简介果是位于高维空间中的垂直于低维对象的对象。因此,内积运1997年,共形几何代数由中国科学院数学与系统科学研算可以降级,如向量和平面量的内积是向量。究院
7、的李洪波研究员主创。它建立了经典几何统一的和简洁向量与平面量的内积公式[5]:的齐次代数框架,即以简明的方式统一表述所有的初等几何,a×(b∧c)=(a×b)c-(a×c)b(1)包括欧氏几何、双曲(非欧)几何、球几何、投影几何、仿射几何既然(a×b)和(a×c)是标量,可见向量和平面量的内积等,在几何建模与计算方面表现出极大的优势。近年来,它在是一个向量,降了1级。微分几何、理论物理、经典分析等方面取得了辉煌的成就,是现令A〈k〉=a1∧a2∧a3∧⋯∧ak,式(1)可以推广为代数学和理论物理的一个核心工具,并在现代科技的各个领x×A〈k〉=x×(a1∧a2∧a
8、3∧⋯∧a
