代数是书写的几何　几何是图形的代数

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1、代数是书写的几何　几何是图形的代数代数是书写的几何　几何是图形的代数　数学是数和形的学问.在名画《蒙娜丽莎》、《最后的晚餐》中都将一些重要画面放在了矩形的对角线上体现几何美.其实画家勾勒的图画中无不蕴涵着深奥的数学知识，美丽的图形中有数的衬托.医学、军事等扫描仪器的应用，其实都是在用动态的几何来说明恒定的代数问题.电影拍摄时要用米尺度量摄影机离演员脸部的距离，找好焦距，正是运用了黄金分割的原理.在股市震荡的图形中，谁掌握了机遇，谁就拥有了财富，从代数蕴涵的美中，剖析出了真正的数字实惠.　　数形结合是代数和几何的完美结合，数形结合作为一种重

2、要的数学思想贯穿于整个初中阶段，既是中考的重点，又是中考的难点.所以我们应在平时的学习中倍加重视数形结合思想.　　　　一、用代数方法探索规律解决几何问题　　　　例1棱长是1cm的小立方体组成如图1所示的几何体，那么这个几何体的表面积是多少？　　　　分析：此题只要从六个不同方向去看，我们就会发现每个方向都有6个小正方形，而每个小正方形的面积为1平方厘米，所以这个几何体的表面积是36平方厘米，而如果把它看作一个完整的几何体，再千方百计去求表面积，是很难的事情.在几何记数问题中，如果单纯的理解为几何问题，很难解决，数形结合思想非常重要.　　例2

3、观察下表中三角形个数变化规律，填表并回答下面问题：如果图中三角形的个数是102个，则图中应有多少条横截线？　　　　分析：本题表面看来是一道几何题，但其实它的规律必须通过代数的方法总结才能得到，我们不可能无休止地去画，无休止地去数，所以探究数量关系，必不可少.　　　　二、通过几何变换解决计算问题　　　　例3如图3是一块矩形ABCD的场地，长AB=102m，宽AD=51m，从A、B两处入口的中路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪面积为多少平方米？　　　　分析：我们只要将几何图形进行重新组装，黑色部分刚好组成一个矩形，

4、矩形的面积就是草坪面积，很轻松地借助几何变换解决了问题.　　例4将五个边长都为2cm的正方形按如图4所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为（）　　A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2　　分析：因为每个阴影部分的面积通过全等均可证明为正方形面积的，所以图中四块阴影面积的和为一个正方形的面积，即4cm2.所以选B.　　　　三、在变幻莫测的动态图形中抓住数值的永恒不变性　　　　例5图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：在图5中，将线段A1A2向右平移1个单位

5、到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；在图6中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）.　　（1）在图7中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；　　（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：　　　　（3）联想与探索：如图8，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的.　　分析：在不断的变

6、化过程中，虽然图形改变了形状，但我们发现阴影部分的面积永远可以看作底为1，高为b的平行四边形的面积.　　解：（1）画图，如图9（要求对应点在水平位置上，宽度保持一致）；　　（2）S1=ab-b，S2=ab-b，S3=ab-b；　　（3）猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab－b.　　方案：1.将小路沿着左右两个边界剪去；　　2.将左侧的草地向右平移一个单位；　　3.得到一个新的矩形（如图10）.　　理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b，其水平方向的长变成了a－1，　　所以草地的面积就是b（a－1）=ab－b.　　所以抓

7、住数值不变性是解决问题的关键.　　例6把两个全等的等腰直角三角形的三角板ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图11），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图12）.在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论.　　　　解：（1）在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变.　　证明：连结C

8、G.　　∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点，　　∴CG=BG,CG⊥AB.　　∴∠ACG=∠B=45°.　　∵&an