资源描述：
《§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解一、矢量的分解1.线性运算:矢量的加法和数与矢量的乘法统称为矢量的线性运算. 2.线性组合:由矢量,,…,与数量l1，l2，…，ln所组成的矢量＝l1+l2+…+ln叫做矢量,,…,的线性组合.我们也说矢量可以用矢量,,…,线性表示，或者说，矢量可以分解成矢量,,…,的线性组合. 3.矢量在直线上的分解：定理1 如果矢量¹，那么矢量与矢量共线的充要条件是可以用矢量线性表示，或者说是的线性组合，即＝x，且系数x被，唯一确定.称为用线性组合来表示共线矢量的基底.证明如果＝x成立，那么由数乘矢量的定义立刻知与共线.反过来，如果与非零矢量共线，那么一定存
2、在实数x，使得＝x. 显然，如果＝，那么＝0，即x=0. x的唯一性：如果＝x＝，那么（x－＝，而¹，所以x＝. 4.矢量在平面上的分解：定理2 如果矢量,不共线，那么矢量与,共面的充要条件是可以用矢量,线性表示，或者说矢量可以分解成矢量,的线性组合，即＝x+y，且系数x,y被,,唯一确定.,称为平面上矢量的基底.证明因为矢量,不共线，所以¹,¹.设与,共面，如果与(或)共线，那么根据定理1有＝x+y
3、，其中y=0(或x=0)；如果与，都不共线，则把它们归结到共同的始点O，并设=，＝（i=1，2），那么过的终点分别作OE2，OE1的平行线依次与OE1，OE2交于A，B.因为∥,∥,那么根据定理1可设=x，＝y，根据平行四边形法则得 =+，即＝x+y. 反过来，设＝x+y，如果x,y有一个是零，那么与(或)共线，则与,共面.如果xy≠0，那么x∥,y∥,根据平行四边形法则得与x，y共面，因此与,共面.最后证明x,y被,,唯一确定.假设＝x+y=+,那么 (x－)＝（y－）＝,如果x≠，那么=－,即∥,这与定理条件矛盾，所以x=.同
4、理y=,因此x,y被唯一确定. 5.矢量在空间的分解：定理3 如果矢量,,不共面，那么空间任意矢量可以由矢量,,线性表示，或者说矢量可以分解成矢量,,的线性组合，即＝x+y+z，且系数x,y,z被,,,唯一确定.,,称为空间矢量的基底.证明 因为矢量,,不共面，所以≠（i=1，2，3），且被此不共线.如果与,，之中的两个矢量,(，或，)共面，那么根据定理2有 ＝x+y+0(＝x+0+z或＝0+y+z).如果与,，之中的任意两个矢量都不共面，则把它们归结到共同的始点O，并设=，＝（i=1，2，3），那么过的终点分别作三个平面分别与平面OE2E3，OE3E1，OE1E2平行
5、，且分别与直线OE1，OE2，OE3相交于A，B，C三点，从而作成了以、、为三棱，=为对角线的平行六面体，于是得到：=++，由定理1可设=x，=y，=z，所以＝x+y+z. 下面证明x,y,z被,,,唯一确定.假设＝x+y+z＝++，那么 (x－)＝（y－）＝(z－)＝,如果 x≠，那么 ＝－＝－,有定理2可知,,共面，这与定理条件矛盾，所以x=.同理，y=，z=.因此x,y,z被,,,唯一确定. 二、矢量的线性关系 1. 定义对于n(n≥1)个矢量,,…,，如果
6、存在不全为零的n个数l1,l2，…,ln,使得l1+l2+…+ln=,那么n个矢量,,…,叫做线性相关.矢量,,…,线性无关是指，只有当l1＝l2＝…＝ln＝0时，上式才成立. 2. 判断方法推论1 一个矢量线性相关的充要条件是=.证明：由矢量线性相关的定义即得.定理4 矢量,,…,(n≥2)线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合.证明：设,,…,线性相关，则l1+l2+…+ln=,且l1,l2，…,ln不全为零，不妨设ln≠0，那么=－－－…－，即是其余矢量的线性组合.反过来，设n个矢量,,…,中有一个矢量，不妨设是其余矢量的线性组合，即=l1+l2+…+l
7、n-1，即l1+l2+…+(－1)=,且l1,l2，…,(－1)不全为零,因此,,…,线性相关.定理5 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关.证明：设一组矢量,,…,，…,(s≤r)中，有一部分矢量,,…,线性相关，那么存在不全为零的n个数l1,l2，…,ls,使得l1+l2+…+ls=,即 l1+l2+…+ls+0+…+lr=,且l1,l2，…,ls不全为零.所以这一组矢量,,…,，…,线性相关. 推论2一组矢量中如果含有零矢量，
